復雜介質的散射問題及其數值解.pdf

1、我們研究一類無界域上的Helmholtz方程邊值問題及其反問題，物理上對應于介質對波場的散射，包括正散射與逆散射.根據散射體的特性，散射現(xiàn)象可以分為簡單散射和復雜散射.簡單散射是指均勻背景介質中的sound-soft或sound-hard不可穿透的障礙體散射等經典的散射現(xiàn)象，而對予多障礙體散射、邊界帶有涂層的散射以及分層介質中的障礙體散射等具有復雜幾何結構或者復雜物理性質的散射，通常稱之為復雜散射.對于簡單散射問題，已經有了很多研究工作

2、.本文從三個方面對復雜介質的教射問題展開研究，包括對帶有阻尼邊界條件的散射體、多個散射體的散射和分層介質中的散射體的教射現(xiàn)象的研究.第一部分研究基于Dirichlet-to-Neumann(D-to-N)映射的探測方法對重建帶有阻尼邊界條件的散射體的問題;第二部分研究從遠場數據重構邊界阻尼系數;第三部分研究兩類復雜散射正問題，即多障礙體散射以及分層介質中的障礙體散射.
　　 首先，考慮用基于D-to-N映射的探測方法重建散射體的

3、問題，在此框架下，研究由所有入射平面波對應的遠場模式重構D-to-N映射.在第二章中，基于混合互易原理，提出了證明反演問題唯一性的新方法.其優(yōu)點在于證明過程提供了重構D-to-N映射的可行的數值方案，通過對每一個過程進行細致的誤差分析，建立了由有誤差的遠場數據重構D-to-N映射的條件穩(wěn)定性估計.在第三章，進一步發(fā)展了重構D-to-N映射的數值方法.以混合互易原理為基礎，將Green函數的微分運算轉移到對入射點源求導，進而提出了由遠場數

4、據反演D-to-N映射的兩種積分方程方法，并對其數值實現(xiàn)過程進行了細致的分析.數值結果表明這兩種方法都具有非常理想的數值實現(xiàn)效果.
　　 其次，在第四章中，研究了一類帶阻尼邊界的逆散射問題.對于此類問題，通常需要同時重建散射體的幾何形狀和邊界阻尼.但對于很多實際問題，如軍事領域中真假目標的鑒別等，散射體的幾何形狀是已知的，因而只需要從遠場數據重構邊界上的阻尼系數，就可以檢測出目標的物理特性，從而辨別散射體的真?zhèn)?本文在已知散射體

5、幾何信息的基礎上，發(fā)展了重構邊界阻尼系數的數值方法.具體而言，從Green函數滿足的齊次邊界條件出發(fā)，建立了一個關于阻尼函數的恒等式.通過分析Green函數在邊界上的性質，提出了由遠場數據反演邊界阻尼的積分方程方法，其右端項和核函數涉及到點源對應的散射波的信息，它們均可由平面波的遠場模式唯一確定.此外，對重構方法的數值方案進行了分析，建立了收斂性結果.數值例子表明了此數值方法的有效性.
　　 最后，研究了在聲學與電磁學領域中廣泛

6、存在的對波場的多障礙散射以及分層介質中的障礙體散射，它們均包含了多重散射過程，數學上分別對應于偏微分方程混合邊值問題和耦合的偏微分方程組.為了對相應的逆散射問題建立高精度的數值求解方法，有必要對這樣一個全新的正散射問題展開系統(tǒng)的研究，本文處理此類問題的關鍵技術是邊界分解方法.在第五章中，考慮由多個不同類型障礙體引起的聲學散射問題.利用邊界分解方法，將N個障礙體引起的多重散射問題分解為N個單體散射問題，并證明了這種分解的存在唯一性.注意到

7、分解后得到的N個單散射問題通過邊界條件耦合在一起，提出了解耦的Jacobi迭代方法，對該算法建立了收斂性和誤差估計.數值例子很好地驗證了相關的理論結果.在第六章，將此邊界分解方法應用予分層介質中的障礙體散射問題.注意到波場在相鄰界面之間會來回反射，我們將N層介質中的障礙體散射問題分解為N-1個透射問題和一個均勻背景介質中的障礙體散射問題.由于這些經典的散射問題仍然是耦合的，提出了解耦的迭代算法，并證明了其收斂性.
　　 最后在第