線性變換思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、第 1 頁(yè)（ 共 18 頁(yè)）線性變換思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘 要： 要：本文首先給出了線性變換的定義以及中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的幾種特殊的線性變換，包括其表達(dá)式及特征等。然后介紹了這幾種線性變換在中學(xué)幾何中的意義, 它是普通線性變換的一個(gè)自然推廣,同時(shí)研究了線性變換在幾何中的應(yīng)用。最后,給出了具體實(shí)例說(shuō)明了利用線性變換解決中學(xué)中平面幾何題的方法以及線性變換思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的影響。關(guān)鍵詞： 關(guān)鍵詞：線性變換 中學(xué)數(shù)學(xué) 幾何應(yīng)用隨著社會(huì)的進(jìn)步和時(shí)

2、代的發(fā)展，針對(duì)我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程現(xiàn)狀，制定和實(shí)施新的課程標(biāo)準(zhǔn)勢(shì)在必行。2003 年頒布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)。由參考文獻(xiàn)[1]、[2]、[3]、[4]可知：《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的課程與以往的課程相比，內(nèi)容上發(fā)生很大的變化，尤其在選修系列中，增加了矩陣與變換、數(shù)列與差分、初等數(shù)論初步、優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步、統(tǒng)籌法與圖論、風(fēng)險(xiǎn)與決策、開關(guān)電路與布爾代數(shù)等內(nèi)容，矩陣與變換是選修系列 4.2 的內(nèi)容。矩陣是代數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容

3、之一，變換是幾何中的基本內(nèi)容之一。對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教材改革來(lái)說(shuō)，認(rèn)真研究怎樣把應(yīng)用廣泛的矩陣內(nèi)容融入代數(shù)教材，以及如何進(jìn)一步用變換的觀念來(lái)處理幾何教材，最終用矩陣來(lái)表示線性變換可以更有效地學(xué)習(xí)和運(yùn)用這部分知識(shí)。中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣初步知識(shí)，主要是為表達(dá)數(shù)據(jù)提供新的工具。矩陣作為研究圖形（向量）變換的基本工具，有著廣泛的應(yīng)用，許多數(shù)學(xué)模型都可以用矩陣來(lái)表示。由矩陣建立的線性變換就是平面上的坐標(biāo)變換，其中，矩陣起著“對(duì)應(yīng)法則”的作用，用二階矩陣 確

4、定的變換, a bc d? ?? ? ? ?就是構(gòu)造映射,使平面上的點(diǎn)(向量) 變成(對(duì)應(yīng))點(diǎn)(向量) = ,這個(gè)映射 xy? ? ? ? ? ?11xy? ?? ? ? ?a bc d? ?? ? ? ?xy? ? ? ? ? ?第 3 頁(yè)（ 共 18 頁(yè)）角度來(lái)看，大學(xué)的線性變換是把它作為代數(shù)的運(yùn)算法則，對(duì)線性方程組與線性空間的運(yùn)算，而中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把線性變換看作是幾何變換的表示方法；從研究的內(nèi)容來(lái)看，大學(xué)研究的是代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，概念

5、理論較為抽象，運(yùn)算量大，容量較多，而中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究的是線性變換的幾何作用，通過(guò)大量的實(shí)例來(lái)討論線性變換的性質(zhì)和作用，只限于討論平面內(nèi)的變換，從直觀上認(rèn)識(shí)線性變換的意義。矩陣與變換(選修系列 4.2)這部分內(nèi)容在大學(xué)的代數(shù)課程中會(huì)系統(tǒng)地講授。而中學(xué)開設(shè)這門選修課的目的，是要求學(xué)生了解其基本的思想、概念(當(dāng)然，這里不是只講故事也不是讀科普讀物，應(yīng)要求學(xué)生做習(xí)題，要有所練習(xí)，有所收獲)。不是把大學(xué)教材簡(jiǎn)單下放，更不是去做一些難題，怪題(作為

6、選修系列 4 的課程，有更多的開放性，給學(xué)生更多的思索空間，但其思索的問(wèn)題不是大學(xué)中更艱深的內(nèi)容或難題、怪題)。在中學(xué)不是訓(xùn)練數(shù)學(xué)上的一些細(xì)致的技巧和方法，而是希望學(xué)生對(duì)線性變換等有一個(gè)初步了解，對(duì)將來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)和工作有所幫助。特別是學(xué)理工科的學(xué)生，到大學(xué)還將系統(tǒng)地學(xué)習(xí)這方面的知識(shí)，中學(xué)的內(nèi)容盡管是重要的，但還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。2 中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的幾種線性變換2.1 中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的幾種線性變換式及其二階矩陣2.1.1 對(duì)稱變換(

7、1)關(guān)于 軸對(duì)稱的變換坐標(biāo)公式為 ，其對(duì)應(yīng)的二階矩陣為 ； x'' x xy y? ?? ? ? ?1 00 1? ?? ? ? ? ?(2)關(guān)于 軸對(duì)稱的變換坐標(biāo)公式為 ，其對(duì)應(yīng)的二階矩陣為 ； y''x xy y? ? ?? ? ?1 00 1? ? ?? ? ? ?(3)關(guān)于 對(duì)稱的變換坐標(biāo)公式為 ，其對(duì)應(yīng)的二階矩陣為 . y x ?''x yy x? ?? ? ?0 11 0? ?