四維Minkowski空間中子流形的微分幾何.pdf

1、本文是以奇點(diǎn)理論為工具來(lái)研究四維Minkowski空間中的類(lèi)空曲線,類(lèi)時(shí)曲面和類(lèi)時(shí)超曲面生成的微分幾何.具體分為下面三個(gè)部分.
　　 第一部分是關(guān)于四維Minkowski空間中的類(lèi)空曲線的研究.四維Minkowski空間中的類(lèi)空曲線與歐氏空間中的曲線、三維Minkowski空間中的類(lèi)空曲線完全不同,在它的法空間中存在一個(gè)二維的光錐,該光錐使類(lèi)空曲線存在一個(gè)光錐Gauss像族,因此我們可以通過(guò)對(duì)光錐Gauss像族的研究來(lái)完成對(duì)光錐

2、Gauss像和曲線的研究,同時(shí)獲得與曲線相關(guān)的更豐富的信息.為研究四維Minkowski空間中的類(lèi)空曲線,首先我們建立它的局部微分幾何理論,即給出與類(lèi)空曲線有關(guān)的一些基本概念和諸如Frenet公式等基本研究工具.其次構(gòu)造類(lèi)空曲線的光錐高度函數(shù)和擴(kuò)展光錐高度函數(shù),并建立函數(shù)的奇點(diǎn)和研究對(duì)象的奇點(diǎn)之間的聯(lián)系.最后利用Bruce等人開(kāi)發(fā)的奇點(diǎn)理論來(lái)研究類(lèi)空曲線的一般光錐Gauss像及光錐對(duì)偶曲面的奇點(diǎn).
　　 第二部分是關(guān)于四維Min

3、kowski空間中的類(lèi)時(shí)曲面的研究.在類(lèi)時(shí)曲面的切空間中存在一對(duì)類(lèi)光方向,這對(duì)類(lèi)光方向正是類(lèi)時(shí)曲面的閃光之處,因此我們從切空間入手研究類(lèi)時(shí)曲面.為了從切空間的角度研究四維Minkowski空間中的類(lèi)時(shí)曲面,我們需要與切空間相關(guān)的一些基本概念和研究工具,因此我們必須從切空間的角度來(lái)建立四維Minkowski空間中類(lèi)時(shí)曲面的局部微分幾何理論.有了基礎(chǔ)理論之后,我們利用Arnol'd等人開(kāi)發(fā)的Legendrian奇點(diǎn)理論,Montaldi的切

4、觸理論和辛幾何來(lái)研究切光錐映射及切光錐對(duì)偶曲面的奇點(diǎn).最后從Lorentzian幾何的角度來(lái)研究這些奇點(diǎn)的幾何意義,并刻畫(huà)曲面在奇點(diǎn)附近的形態(tài).
　　 第三部分是關(guān)于四維Minkowski空間中的類(lèi)時(shí)超曲面的研究.對(duì)于類(lèi)時(shí)超曲面來(lái)說(shuō),其切空間中存在一個(gè)二維的光錐,因此切空間中存在無(wú)數(shù)的光方向.在法空間中存在且僅存在一個(gè)類(lèi)空方向.為探究de Sitter Gauss曲率和切空間中光方向曲率之間的關(guān)系,本文將詳細(xì)研究類(lèi)時(shí)超曲面的de