多孔介質(zhì)滲流問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)有限體積方法.pdf

1、有限體積元(FVE)作為求解偏微分方程的一種重要數(shù)值方法，能夠保持質(zhì)量、動(dòng)量、能量等物理量的守恒．FVE方法(也稱(chēng)為廣義差分法[10]或box method[2])利用在對(duì)偶剖分體積單元積分原始方程，并將近似解限制于某一有限元空間而得到離散方程[3-5]．因此，它在局部區(qū)域保持了原始方程的物理守恒性和其他重要特性，從而被廣泛地應(yīng)用于數(shù)值求解數(shù)學(xué)物理方程，特別是計(jì)算流體力學(xué)和熱傳導(dǎo)問(wèn)題[9]． 1978年，李榮華利用有限元空間和對(duì)

2、偶單元上特征函數(shù)的推廣一局部Taylor展式的公項(xiàng)，將積分插值法改寫(xiě)成廣義Galerkin法形式，從而將不規(guī)則網(wǎng)格差分法推廣為廣義差分法，見(jiàn)專(zhuān)著[10]．十余年來(lái)，李榮華及其同行對(duì)廣義差分法的理論和應(yīng)用作了系統(tǒng)研究．這些研究包括了對(duì)橢圓、拋物、雙曲方程構(gòu)造一次和高次元廣義差分格式，他們對(duì)所研究問(wèn)題給出了最優(yōu)H<'1>模誤差估計(jì)．[17]對(duì)于重心對(duì)偶剖分，在u ∈H<'3>(Ω)假定下。得到了最優(yōu)L<'2>模誤差估計(jì)．理論研究和實(shí)際計(jì)算表

3、明，有限體積法既最大限度的保持了差分法的簡(jiǎn)單性，又兼有有限元法的精確性．FVE方法還有其他很多性質(zhì)，參見(jiàn)文獻(xiàn)[2-5，11]． 然而一般情況下，由FVE形成的線(xiàn)性系統(tǒng)中系數(shù)矩陣卻是非對(duì)稱(chēng)的，這就在實(shí)際應(yīng)用中帶來(lái)一些困難，適用于求解對(duì)稱(chēng)線(xiàn)性系統(tǒng)的方法在此就不能應(yīng)用，因此將系數(shù)對(duì)稱(chēng)化是一項(xiàng)非常重要的工作．[12]對(duì)橢圓問(wèn)題和拋物問(wèn)題提出了對(duì)稱(chēng)有限體積方法。并給出最優(yōu)能量模估計(jì)．關(guān)于對(duì)稱(chēng)有限體積方法的其他一些性質(zhì)參見(jiàn)文獻(xiàn)[13，14]

4、． 本篇論文對(duì)幾類(lèi)發(fā)展型方程提出了幾種對(duì)稱(chēng)有限體積方法，都得到了最優(yōu)階的誤差估計(jì)．由于有限體積法在科學(xué)研究和工程技術(shù)中有著極其重要應(yīng)用和廣泛的實(shí)用性，對(duì)有限體積法的研究和發(fā)展就具有十分重要的實(shí)際意義。本文的創(chuàng)新點(diǎn)有以下幾個(gè)方面： (1)對(duì)非線(xiàn)性?huà)佄锓匠烫岢鲆环N對(duì)稱(chēng)有限體積方法。我們將系統(tǒng)的系數(shù)矩陣對(duì)稱(chēng)化，因此可以應(yīng)用任何求解對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的方法，對(duì)問(wèn)題的解決帶來(lái)極大的方便。我們給出最優(yōu)階能量模誤差估計(jì)，并證明對(duì)稱(chēng)有限體積方法

5、的解相對(duì)一般的有限體積方法的解是一個(gè)更高階項(xiàng)。 (2)對(duì)復(fù)雜的滲流耦合問(wèn)題提出新算法一特征對(duì)稱(chēng)有限體積方法。耦合問(wèn)題包括多孔介質(zhì)不可壓縮及可壓縮混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，在不可壓混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題中，我們對(duì)飽和度方程提出特征對(duì)稱(chēng)有限體積方法，結(jié)合對(duì)壓力方程應(yīng)用混合元方法，并得到最優(yōu)H<'1>模和L<'2>模誤差估計(jì)。對(duì)可壓縮混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，我們結(jié)合應(yīng)用對(duì)稱(chēng)有限體積方法和特征對(duì)稱(chēng)有限體積方法，并得到最優(yōu)H<'1>模誤差估計(jì)． (3)對(duì)二維拋物

6、型積分微分方程提出一種對(duì)稱(chēng)有限體積方法．由于積分微分方程在多孔介質(zhì)非局部反應(yīng)流問(wèn)題、流動(dòng)流體核衰變問(wèn)題、帶記憶的熱傳導(dǎo)問(wèn)題以及生物技術(shù)等實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，因此對(duì)此類(lèi)方程的研究也有非常重要的意義．我們針對(duì)該方程建立了全離散的對(duì)稱(chēng)有限體積格式，引入Ritz-Volterra投影算子，證明了格式的收斂性，并給出了L<'2>模誤差估計(jì)。 全文共分六章． 第一章是引言，第一節(jié)主要是介紹有限體積方法．在第二節(jié)中，建立對(duì)橢圓問(wèn)

7、題的對(duì)稱(chēng)有限體積方法，我們只需對(duì)同樣的對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)進(jìn)行一次預(yù)估和一次迭代．在第三節(jié)中，我們建立對(duì)拋物問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)有限體積方法，在每一時(shí)間層，我們只需求解一次對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)． 第二章對(duì)非線(xiàn)性?huà)佄锓匠烫岢隽藢?duì)稱(chēng)有限體積方法．在第一章的一個(gè)重要的引理的基礎(chǔ)上，我們將對(duì)稱(chēng)有限體積方法推廣到非線(xiàn)性?huà)佄锓匠?，在第二?jié)建立了非線(xiàn)性?huà)佄锓匠倘x散的對(duì)稱(chēng)有限體積格式．在第三節(jié)給出了本篇論文所需要的大部分輔助引理．在第四節(jié)，我們主要進(jìn)行收斂性分析，給出最優(yōu)階能

8、量模誤差估計(jì)，并證明對(duì)稱(chēng)有限體積方法的解相對(duì)一般的有限體積方法的解是一個(gè)更高階項(xiàng)． 第三章對(duì)多孔介質(zhì)不可壓混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題提出了特征對(duì)稱(chēng)有限體積方法．多孔介質(zhì)不可壓混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值模擬對(duì)于油田的合理開(kāi)發(fā)、了解地下油水流動(dòng)規(guī)律是十分重要的．該問(wèn)題通常由兩個(gè)非線(xiàn)性偏微分方程耦合而成，一個(gè)是橢圓型方程，習(xí)稱(chēng)壓力方程，另一個(gè)是拋物型對(duì)流占優(yōu)的擴(kuò)散方程，習(xí)稱(chēng)飽和度方程.對(duì)單獨(dú)的對(duì)流占優(yōu)的對(duì)流擴(kuò)散方程，Dollglas等[23]引入了特征線(xiàn)修

9、正方法，用有限差分和有限元離散.對(duì)不可壓混溶驅(qū)動(dòng)這個(gè)耦合問(wèn)題， Russell[24]提出對(duì)飽和度方程的特征有限元格式結(jié)合對(duì)壓力方程標(biāo)準(zhǔn)伽略金方法，Douglas和Ewing等[25，26]引入Raviart-Thomas空間，給出了對(duì)壓力方程的混合有限元方法，Ewing等[27]對(duì)飽和度方程應(yīng)用特征有限元方法，對(duì)壓力方程應(yīng)用混合元方法，并做了收斂性分析.在第二節(jié)，我們對(duì)飽和度方程提出一種特征對(duì)稱(chēng)有限體積方法，結(jié)合對(duì)壓力方程應(yīng)用混合元方

10、法，在第三節(jié)給出輔助引理，在第四節(jié)進(jìn)行收斂性分析，得到最優(yōu)H<'1>模和Lo模誤差估計(jì)。 第四章對(duì)多孔介質(zhì)可壓縮混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題提出了特征對(duì)稱(chēng)有限體積方法。對(duì)可壓縮可混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題， [37，38]提出其數(shù)學(xué)模型并研究了半離散化方法.[41，42]對(duì)此模型分別提出并分析了特征有限元方法和差分法.可壓縮情況，壓力方程和飽和度方程均是具有強(qiáng)烈非線(xiàn)性的拋物方程.在第二節(jié)，我們對(duì)飽和度方程提出一種特征對(duì)稱(chēng)有限體積方法，結(jié)合對(duì)壓力方程應(yīng)用對(duì)稱(chēng)有

11、限體積方法，在第三節(jié)給出輔助引理，在第四節(jié)進(jìn)行收斂性分析，最后得到了最優(yōu)H<'1>模誤差估計(jì)。 第五章對(duì)基于二維拋物型積分微分方程的多孔介質(zhì)非局部反應(yīng)流問(wèn)題提出了一種對(duì)稱(chēng)有限體積方法.我們考慮一類(lèi)拋物型積分微分方程初邊值問(wèn)題，此類(lèi)模型在液態(tài)中反應(yīng)和污染運(yùn)移問(wèn)題的研究中起著非常重要的作用，是數(shù)學(xué)、工程學(xué)以及生命科學(xué)多學(xué)科交叉研究的一個(gè)活躍領(lǐng)域.文獻(xiàn)[45，46]提供了數(shù)學(xué)模型的出處以及準(zhǔn)確的假設(shè)和分析.這類(lèi)數(shù)學(xué)公式也出現(xiàn)在各種工程

12、模型中，如在多孔介質(zhì)中地下水非局部反應(yīng)運(yùn)移[47]，熱傳導(dǎo)問(wèn)題，在流動(dòng)流體放射性核衰變[48]，非牛頓流動(dòng)流體，帶記憶的粘彈性變形材料(特殊聚合物)[49]，半導(dǎo)體建模[50]，以及生物技術(shù).所有這些模型一個(gè)非常重要的特征就是它們都表達(dá)某一物理量在任一時(shí)刻任一子域的守恒(質(zhì)量、動(dòng)量、熱量等).在許多應(yīng)用中將涉及到相應(yīng)的初邊值問(wèn)題的數(shù)值解，這是近似方法的最重要的特性. 此類(lèi)型方程用有限元、有限差分以及配置法，已經(jīng)得到廣泛的研究[5

13、1-56].有限元方法近似地保持通量。因此在漸進(jìn)極限(也就是當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng)趨于零)下，它能得到足夠精確的計(jì)算結(jié)果，然而，在應(yīng)用相對(duì)較粗網(wǎng)格的時(shí)候則存在一些不利因素.有限體積方法的最重要的特性就是在每一個(gè)計(jì)算單元精確的保持近似通量(熱量，質(zhì)量等)守恒。由于有限體積方法有這個(gè)重要的性質(zhì)，并且有足夠的精度以及方法易于實(shí)行，這使得近來(lái)人們對(duì)其有了更新的研究興趣。對(duì)該非局部反應(yīng)流問(wèn)題，在文獻(xiàn)[59]中，給出了有限體積元近似。然而一般情況下，由它形成的

14、線(xiàn)性系統(tǒng)中系數(shù)矩陣是非對(duì)稱(chēng)的。在第二節(jié)，我們對(duì)二維拋物型積分微分方程提出了對(duì)稱(chēng)有限體積方法。在第三節(jié)給出若干輔助引理。在第四節(jié)我們引入Ritz-Voltcrra投影算子，證明了格式的收斂性，并給出了L<'2>模誤差估計(jì)。第六章我們做一個(gè)彈性地基梁振動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值試驗(yàn)．汽車(chē)行駛在橋梁上，使橋梁產(chǎn)生振動(dòng)，帶來(lái)很大隱患；隨著我國(guó)鐵路列車(chē)的提速，對(duì)鐵軌地基和周邊沿線(xiàn)建筑物的振動(dòng)問(wèn)題引起了人們的普遍注意．國(guó)際上已把振動(dòng)列為七大環(huán)境公害之一，并開(kāi)始著

15、手研究振動(dòng)的污染規(guī)律、產(chǎn)生原因、傳播途徑和控制方法等。許多科學(xué)研究者用有限元來(lái)研究，如文獻(xiàn)[60]，從理論上對(duì)彈性地基梁振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了基礎(chǔ)研究．文獻(xiàn)[61]用有限元方法求解此類(lèi)問(wèn)題，具有網(wǎng)格剖分靈活，適用區(qū)域廣泛，計(jì)算精度高等諸多優(yōu)點(diǎn)．文獻(xiàn)[62]采用格林函數(shù)計(jì)算了連續(xù)地基梁上移動(dòng)荷載沿軸向運(yùn)動(dòng)情況下的軌道位移，但計(jì)算量大，解決高速問(wèn)題有一定的局限。文獻(xiàn)[63]從工程學(xué)角度對(duì)高速列車(chē)駛過(guò)橋梁這一問(wèn)題進(jìn)行了模擬試驗(yàn)．我們提出了用Hermi