非線性微分方程在再生核空間中若干數(shù)值算法的研究.pdf

1、許多自然現(xiàn)象都是借助于線性和非線性方程來描述的，這些方程作為重要的數(shù)學模型在物理學、生物學、控制科學等許多研究領域中有著廣泛的應用，而對這些現(xiàn)象的分析一般可歸結為微分方程的求解問題，由于獲得這類方程精確解的解析表達式是非常困難的，所以發(fā)展適合的數(shù)值方法就成為既有理論意義又有實際價值的研究課題。因此如何求解這些有實際意義的方程也就變得越來越重要。
　　本文運用再生核空間的技巧，給出了幾類非線性微分方程的求解算法。文中詳細地敘述了再生

2、核空間的應用背景和研究歷史，回顧了再生核空間的發(fā)展狀況。并且在文中的每一部分都給出了若干個具體的再生核空間。在所有給出的再生核空間中都有具體的再生核函數(shù)的表達式，并且每一章都進行了相應的數(shù)值試驗。這些數(shù)值試驗驗證了理論上推出的結論的正確性。
　　首先，通過改進的再生核空間的內積定義，我們簡化了某些再生核函數(shù)的表達式，這是一種多項式形式的再生核。利用它去解決問題可以大大減少計算量，防止更多的計算誤差的累積，從而可以大大地提高計算精度

3、。
　　其次，在再生核空間中構造了兩種大范圍收斂的迭代序列，通過截斷級數(shù)的形式得到了方程的近似解。另外，第二種方法針對方程解存在不唯一的情況下，可以進一步求出滿足一定附加條件的特解。這兩種迭代法適用于一般的非線性方程，本文運用第一種方法在第二章的Burgers方程和第三章的奇異非線性初值問題進行了求解。運用第二種方法在第四章對廣義Burgers方程進行了求解。
　　最后，在第五章中利用升元手段求解了一階完全非線性微分方程。主

4、要利用再生核空間中再生核的再生性質，利用升元手段將完全非線性常微分方程轉化為線性偏微分方程進行求解。將初始條件齊次化后融入到二維再生核空間中，運用本文的方法可以求得一個帶有未知量的解的表達式，然后通過最小二乘法的技巧，最終獲得非線性算子方程的近似解。
　　再生核理論在模型描述、曲線擬合、函數(shù)估計、概率與統(tǒng)計方面有重要的應用。基于再生核理論，本論文提出了一些求解非線性微分方程，如：Burgers方程問題，廣義Burgers方程問題，