四元數(shù)矩陣特征值計(jì)算.pdf

1、四元數(shù)是在1843年由英國(guó)數(shù)學(xué)家W.R.哈密頓提出的．四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)重大的事件．四元數(shù)在代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)，物理學(xué)，工程技術(shù)等方面有著廣泛和重要的應(yīng)用．特別是近10年以來(lái)，四元數(shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)，工程技術(shù)中的應(yīng)用越來(lái)越多，更加受到人們的重視． 矩陣計(jì)算是科學(xué)與工程計(jì)算的核心，它包括三大問(wèn)題：線性代數(shù)方程組問(wèn)題；線性最小二乘問(wèn)題和矩陣特征值問(wèn)題．矩陣特征值問(wèn)題是當(dāng)前迅速發(fā)展的計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)值代數(shù)中一個(gè)活躍的研究課題，在自然科

2、學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的重要的應(yīng)用． 以實(shí)四元數(shù)作為其元素的矩陣稱為實(shí)四元數(shù)矩陣(以下簡(jiǎn)稱四元數(shù)矩陣)．關(guān)于四元數(shù)矩陣的研究，近幾十年來(lái)，已取得很多成果[1]，[23]-[27]，[32]，[47]，[52]，[55]-[57]．一般講，很多復(fù)矩陣的性質(zhì)可以推廣到四元數(shù)矩陣上來(lái)，但是四元數(shù)矩陣也具有獨(dú)特的與復(fù)矩陣不同的性質(zhì)．關(guān)于四元數(shù)矩陣的數(shù)值計(jì)算，工作較少，尤其是四元數(shù)矩陣奇異特征值的計(jì)算，基本上尚未開始研究，難度很大．解決四

3、元數(shù)矩陣的特征值問(wèn)題同樣具有非常重要的意義．設(shè)A是一個(gè)四元數(shù)矩陣，若λ滿足Ax=λx(Ax=xλ)，則λ稱為A的奇異(右)特征值．四元數(shù)矩陣的奇異特征值和右特征值存在著很大的差別．到目前為止，關(guān)于四元數(shù)矩陣右特征值的研究已經(jīng)得到了很多令人滿意的結(jié)果。Bunse-Gerstner等將復(fù)矩陣的QR算法應(yīng)用到四元數(shù)矩陣中[1]，給出了四元數(shù)矩陣的OR分解和Schur分解，從而得到該四元數(shù)矩陣的右特征值和右特征向量．在本文中，我們將實(shí)矩陣特征值

4、的乘冪法推廣到自共軛實(shí)四元數(shù)矩陣中，得到關(guān)于自共軛實(shí)四元數(shù)矩陣右特征值的乘冪法．四元數(shù)矩陣右特征值的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為它的復(fù)表示矩陣的特征值的計(jì)算問(wèn)題，本文利用復(fù)表示矩陣的特殊結(jié)構(gòu)給出了一種減少計(jì)算其特征值計(jì)算量的方法． 四元數(shù)矩陣計(jì)算中有一些新的問(wèn)題是復(fù)矩陣計(jì)算中沒有的內(nèi)容．例如四元數(shù)奇異特征值的計(jì)算．黃禮平和So Wasin在[25]中討論了2階四元數(shù)矩陣的奇異特征值的性質(zhì)，并給出了這些奇異特征值的代數(shù)表達(dá)式．在本文中，我們用C+