分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的基本解和數(shù)值方法.pdf

1、分?jǐn)?shù)階微分方程的特點(diǎn)是含有非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)，能非常有效的描述各種各樣的物質(zhì)的記憶和遺傳性質(zhì)，在物理，數(shù)學(xué)，機(jī)械工程，生物，電子工程，控制理論和金融等領(lǐng)域發(fā)揮越來(lái)越重要的作用。各種分?jǐn)?shù)階模型與無(wú)秩序的動(dòng)力系統(tǒng)有著緊密的聯(lián)系。物理學(xué)中的反常擴(kuò)散最初是從隨機(jī)游走模型中發(fā)展得來(lái)的。分?jǐn)?shù)階對(duì)流—擴(kuò)散方程是模擬各種反常擴(kuò)散現(xiàn)象的有力工具。分?jǐn)?shù)階對(duì)流—擴(kuò)散方程是分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程的一部分，方程中可以含有空間和時(shí)間的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子。本文分別討論時(shí)間、空間、空間

2、—時(shí)間的分?jǐn)?shù)階對(duì)流—擴(kuò)散方程。文中所涉及的空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)均為Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，它含有雙側(cè)的Riemann—Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是適用于高維空間。 本文主要由下面幾個(gè)部分組成。 首先，引言部分介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷史和已有的一些重要成果。然后介紹分?jǐn)?shù)階微積分的一些預(yù)備知識(shí)，給出了分?jǐn)?shù)階微積分一些基本定義和性質(zhì)。 其次，第二章從時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程出發(fā)，提出一

3、顯式守恒差分近似，進(jìn)行穩(wěn)定性與收斂性分析。將得到的結(jié)果推廣到時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流一擴(kuò)散方程，對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流—擴(kuò)散方程的顯式守恒差分近似，用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行穩(wěn)定性與收斂性分析，并用質(zhì)點(diǎn)的隨機(jī)游走來(lái)解釋。實(shí)踐證明，隨機(jī)游走是解釋許多自然科學(xué)學(xué)科中隨機(jī)過(guò)程的強(qiáng)有力的模型。 第三章考慮Riesz空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流—擴(kuò)散方程。這一章包含三部分內(nèi)容。首先考慮初值問(wèn)題。利用Laplace和Fourier變換得到Riesz空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流—擴(kuò)散方程初值問(wèn)題

4、的基本解。用格林函數(shù)表示基本解，并對(duì)其進(jìn)行概率解釋。再利用Riemann—Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Grünwald—Letnikov分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系，構(gòu)造一顯式有限差分近似，這一離散格式可以解釋為一個(gè)隨機(jī)游走模型，并且收斂于穩(wěn)定的概率分布。第二部分考慮初邊值問(wèn)題，基于Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以表示為拉普拉斯算子冪次方這一特點(diǎn)，借助于矩陣轉(zhuǎn)換技巧與分?jǐn)?shù)階行方法求此方程的數(shù)值解，利用特征函數(shù)的性質(zhì)與Laplace變換相結(jié)合求

5、出其新的解析解，再對(duì)這兩種解進(jìn)行比較。最后，進(jìn)一步討論了初邊值問(wèn)題的有限差分近似，構(gòu)造顯式和隱式兩種差分近似，并進(jìn)行了誤差分析。 第四章中考慮Riesz空間—時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流—擴(kuò)散方程。首先考慮初值問(wèn)題。利用Laplace和Fourier變換得到Riesz空間—時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流—擴(kuò)散方程初值問(wèn)題的基本解。用格林函數(shù)表示此基本解，對(duì)其進(jìn)行概率解釋。利用Riemann—Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Grünwald—Letnikov分?jǐn)?shù)

6、階導(dǎo)數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系，構(gòu)造一顯式有限差分近似，這一離散格式可以解釋為一個(gè)隨機(jī)游走模型。然后討論初邊值問(wèn)題。構(gòu)造顯式和隱式兩種有限差分近似，進(jìn)行了誤差分析。由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性結(jié)構(gòu)，使得計(jì)算分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值方法需要比整數(shù)階花費(fèi)更多的計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)要求。因此，在文中最后部分，我們提出了提高計(jì)算精度的Richardson外推法和減少計(jì)算量的“short—memory”原則，以此來(lái)改進(jìn)我們的數(shù)值方法。 在每一章中，均給出數(shù)值例子