分數階擴散方程的幾種數值解法.pdf

1、盡管分數階微積分的歷史幾乎和整數階的一樣長,但是由于缺少相關的實際應用背景,分數階微積分在其初期發(fā)展十分緩慢.眾所周知,對于解釋和模擬許多應用科學領域的動力學過程,經典微積分都是一個強有力的工具.但是,越來越多的實驗和現實告訴我們,在自然界的反常動力學中有許多復雜系統(tǒng),不能用經典的導數模型來描述.因此,在最近的十幾年里,分數階微積分已經被應用于幾乎所有科學,工程和數學的領域中去.
　　 物理中,反常擴散或許是一種最常研究的復雜問

2、題.我們利用分數階導數,可以將經典的整數階擴散與波的偏微分方程,推廣到時間和空間的分數階上去.進而再擴展到各類非線性方程并給出其初邊值問題的解,是近幾年來分數階微積分應用的-個主要領域.-般來講。這些問題大都具非常重要的實際應用背景。如在分形和多孔介質中的彌散、半導體物理、湍流及凝聚態(tài)物理等.
　　 本文主要研究一些分數階擴散方程及其數值解法,共由四個彼此相關而又相互獨立的章節(jié)構成.第一章簡要介紹了分數階微積分的歷史、理論及其應

3、用,以及文中將用到的一些基本知識。和相關數值解的現有研究成果；第二章和第三章研究的都是雙邊空間分數階對流擴散方程,在這兩章中我們分別給出了此類方程的幾類不同有限差分法,主要有分數階權平均法、改進型權平均法和特征有限差分法等；而在最后一章中,我們則是給出了時間分數階擴散方程的一種高精度隱式數值解法.
　　 第一章為序言.首先了介紹分數階微積分的歷史及其發(fā)展情況,并給出了幾種常用的分數階算子定義以及它們的一些基本性質,例如:Riem

4、ann-Liouville分數階算子,Caputo分數階算子和Grünwald-Letnikov分數階算子等。同時還列出了幾個相關的運算性質.然后,在§1.3中,我們對Mittag-Leffier型特殊函數和它的基本性質也進行了一定的敘述,這類特殊函數主要包括單參數的Mittag-Lefflier函數和兩參數的廣義Mittag-Lefflter函數.這類特殊函數常常是很多分數階微分方程的基本解,其它具有類似性質的特殊函數還有Wright

5、函數和H-fox函數,等等.
　　 此外,在本章中的§1.4,我們還歸納敘述了目前為止,幾類常見的分數階微分方程的一些數值解法.例如,有限差分法,有限元法,微分變換法,Adomian區(qū)域分解法,變分迭代法,同倫攝動法,等等.同時對每種方法分別列舉出了一些相關研究成果.最后,在本章的最后一節(jié)中,我們較詳細的介紹了分數階微積分在當前非線性物理復雜系統(tǒng)的各個領域中的應用.
　　 在接下來的章節(jié)中,我們將研究兩種不同的反常擴散模

6、型.在第二章中,主要研究1維空間分數階對流擴散方程.我們根據移位Grünwald公式離散Riemann-Liouville分數階導數。從而提出了方程的分數階權平均法.通過理論研究和算例分析,可以得知以前出現過的一些相關數值算法,它們大都是此方法的某些特例.在§2.3中,我們利用圓盤定理和矩陣法證明了分數階權平均法的穩(wěn)定性,具體理論結果由定理2.1詳細給出.
　　 然后,在§2.4中,我們又討論了分數階權平均法的一種新的改進格式,

7、并再次給出了相關穩(wěn)定性分析.最后,則是用數值例子來驗證理論的正確性,同時又計算了分數階權平均法的特例,分數階Crank-Nicholson(FCN)法.顯然,無條件穩(wěn)定又擁有2階時間精確度的FCN法更好一些.本章部分內容已經公開發(fā)表在Physics Letters A.
　　 在第三章中,關于雙邊空間分數階對流擴散方程,據我們所知,目前為止,它的數值解法全都是Eulerian法.結果,這些方法都具有和2階對流擴散方程相同的數值局

8、限性.在本章中,結合移位Grünwald-Letnikov有限差分過程以及Lagrangian法,我們在§3.3中首次提出了一種分數階特征有限差分法(CFDM).此法保留了2階對流擴散方程特征法和分數階對流擴散方程有限差分法的所有數值優(yōu)點.在§3.4中,我們證明了這種方法是無條件穩(wěn)定、相容和收斂的,并且給出了本方法誤差估計的最大值.
　　 在§3.5中,我們給出了-個實際算例的數值模擬,并把分數階特征有限差分法和其它的分數階標準

9、差分法相比較.算例結果表明,這種分數階新CFDM在精度和穩(wěn)定性上都大大優(yōu)于其它已知方法,例如顯式迎風差分法和隱式迎風差分法等.并且,此法對于對流占優(yōu)問題,顯得尤為高效、優(yōu)越.本章內容已投到Journal of ComputationalPhysics.
　　 在第四章中,我們主要討論的是一類時間分數階擴散方程.反常次擴散運動是復雜系統(tǒng)中-個特別重要的內容,如在一些有機和無序材料中,它的運動路徑被一些幾何或能量因子約束著.對于反常

10、次擴散隨機游走過程的數學模型,一般擴散方程則會被Riemann..Liouville分數階時間擴散方程所替代.分析表明,這些分數階模型顯然比經典的整數階模型更加符合實際背景.
　　 在本章中,首先我們我們利用移位Grünwald公式來逼近時間分數階導數,并且使用中心差分格式去逼近l階時間導數和2階空間導數,從而提出了此類擴散方程的一種新的隱式差分法.它是一種三層差分格式,其中第一時間層的數值解可以由全隱式格式或Crank-Nic