幾類非線性發(fā)展方程的精確行波解的研究.pdf

1、非線性現象是自然界最普遍的現象，是自然界的本質.非線性系統的提出和研究，促使不同學科相互滲透融會，大批新興學科應運而生，逐步誕生了探討復雜性現象的非線性科學。非線性科學主要包括研究孤子理論、混沌理論、分形理論和耗散結構理論等等，以及這些理論在其他相關學科領域的廣泛應用。孤波理論與應用是非線性科學研究的熱門課題之一。孤立子相關性質的研究在揭示波的傳播規(guī)律、準確解釋自然現象和科學應用相關技術等方面均具有極大的科學研究價值，非線性發(fā)展方程的研

2、究又離不開孤立子理論.大量的非線性問題的研究和解決最終都歸結為求解非線性偏微分方程（組）的問題.非線性偏微分方程（組）的求解要遠比線性偏微分方程（組）的求解困難得多，很難用統一的方法對前者加以處理.由此，求非線性偏微分方程（組）精確解的工作，就顯示了很重要的理論和應用價值.
　　 本文基于此目的，在歸納和總結了現有各種主要的精確求解非線性發(fā)展方程方法的基礎上，研究了一類具有實際應用物理背景的非線性波動方程，如mBBM方程、MCH

3、方程，Klein-Gardner方程，組合KdV-mKdV方程、廣義的BBM方程等.把一些經典的研究方法加以推廣和改進，借助于符號計算和數學機械化的方法，來研究這類非線性波動方程的行波解，不但獲得了已有的結果，而且得到了一些新的結果.通過研究波動方程的動力學性質，從定性角度數形結合分析，尋求非線性波動方程的解.
　　 全文共分七章.第一章介紹了非線性波動方程提出的研究背景、進展和現狀，提出了本課題的研究意義和研究內容.
　

4、　 第二章介紹了幾個重要的求解非線性波動方程精確解的方法，并簡要闡述了本文主要的求解非線性波動方程的方法以及與本文相關的基本概念和基本原理.
　　 第三章借助于首次積分法，對常見的mBBM方程、簡化形式的MCH方程，Klein-Gardner方程，組合KdV-mKdV方程，進行了全面的分析，得到了一些精確解，并結合簡單的直接積分，以及Jacobi橢圓正弦函數展開法，比較了這個方法的優(yōu)點。
　　 第四章應用(G'/G)展

5、開法，對以上討論的簡化形式的MCH方程，Klein-Gardner方程，組合KdV-mKdV方程，再次作進一步的研究，得到了這些方程的雙曲函數形式、三角函數形式的解，豐富了這些方程的討論。這類方法的應用日益豐富，甚至對一些重要的離散的孤波方程也一樣適用.
　　 第五章借助Wazwaz的獨創(chuàng)性的工作，結合著名的Hirota法，用一種簡單的方式，有效地尋求了(2+1)維Zakharov-Kuznetsov方程(簡記為ZK(m，n，k

6、)、破裂孤子方程、Potential Kadomtsev-Petviashvili(PKP)方程以及一個五階色散方程的解，并且包含多重孤子解和奇異孤子解。本文還嘗試利用同宿測試法(homoclinictest method)，討論Hirota法的一些延伸工作。
　　 第六章受啟發(fā)于Kuru等人利用二階微分算子的分解理論，直接將Wazwaz等人討論過的幾類廣義BBM方程以及兩個修正的Boussinesq方程，經過行波變換后，通過W