構(gòu)造全等三角形種常用方法

1、構(gòu)造全等三角形種常用方法構(gòu)造全等三角形種常用方法在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，選擇三角形全等的五種方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一組相等的邊，因此在應(yīng)用時(shí)要養(yǎng)成先找邊的習(xí)慣。如果選擇找到了一組對(duì)應(yīng)邊，再找第二組條件，若找到一組對(duì)應(yīng)邊則再找這兩邊的夾角用“SAS”或再找第三組對(duì)應(yīng)邊用“SSS”；若找到一組角則需找另一組角（可能用“ASA”或“AAS”）或夾這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)邊用“SAS”；若是判定兩個(gè)

2、直角三角形全等則優(yōu)先考慮“HL”。上述可歸納為：()()()()SSSSSASASSSSASAAAASASA?????????????用用用用或搞清了全等三角形的證題思路后，還要注意一些較難的一些證明問題，只要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對(duì)集中起來，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了下面舉例說明幾種常見的構(gòu)造方法，供同學(xué)們參考1截長(zhǎng)補(bǔ)短法截長(zhǎng)補(bǔ)短法例1如圖（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，求證：ABBE=AC解法

3、（一）（補(bǔ)短法或補(bǔ)全法解法（一）（補(bǔ)短法或補(bǔ)全法）延長(zhǎng)AB至F使AF=AC，由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45，∴BF=BE，∴ABBE=ABBF=AF=AC解法（二）（截長(zhǎng)法或分割法解法（二）（截長(zhǎng)法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知△ABE≌△AGE，∴EG=BE∠AGE=∠ABE∵∠ACE=45∴CG=EG∴ABBE=AGCG=AC2平行線法（或平移法）平行線法（或平移法）若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或

4、中位線，對(duì)若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線，對(duì)Rt△有時(shí)可作出斜邊的中線有時(shí)可作出斜邊的中線例2△ABC中，∠BAC=60，∠C=40AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：ABBP=BQAQ證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180－60－40=80，又∵∠AQO=∠C∠QBC=80，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD

5、=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，∴ABBP=ADDBBP=AQOQBO=AQBQ說明：⑴本題也可以在AB截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”⑵本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下：①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO來解決②如圖（3），過O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，則△ADO≌△AQO，△ABO

6、≌△AEO來解決ABCPQDOOABCPQD圖（2）ABCPQDE圖（3）OABCDFEG圖（1）練習(xí)：例3已知：如圖（6），P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù)分析：直接求∠APB的度數(shù)，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形略解：將△BAP繞A點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60至△ACD，連接PD，則△BAP≌△ADC，∴DC=BP=4，∵AP=AD，∠PAD=60，又∵PC=5，PDDC=P

7、C圖（6）222∴△PDC為Rt△∠PDC=90∴∠APB=∠ADC=∠ADP∠PDC=6090=150１、平移法構(gòu)造全等三角形１、平移法構(gòu)造全等三角形例１例１如圖１所示，四邊形中，平分，若，，求證：ABCDACDAB?ABAD?DCBC?。180BD?????分析分析：利用角平分線構(gòu)造三角形，將轉(zhuǎn)移到，而與互補(bǔ)，D?AEC?AEC?CEB?，從而證得。主要方法是：“線、角進(jìn)行轉(zhuǎn)移”。CEBB???180BD?????證明證明：在上截取

8、，ABAEAD?在與中，ADC?AEC?ADAEDACEACACAC??????????∴≌（SAS）ADC?AEC?∴DAEC???DCCE?∵DCBC?∴，CEBC?∴CEBB???∵180CEBAEC?????∴.180BD?????２、翻折法構(gòu)造全等三角形２、翻折法構(gòu)造全等三角形例２例２如圖２所示，已知中，，，平分，求證：ABC?ACBC?90ACB???BDABC?。ABBCCD??證明證明：∵平分，將沿翻折后，點(diǎn)落在上的點(diǎn)，