數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué)-溫州

1、汪 曉 勤華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系2013-05-23,數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué),背 景,數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀教師專業(yè)發(fā)展的需求學(xué)術(shù)研究的背景,數(shù)學(xué)史與 初中數(shù)學(xué)教學(xué),數(shù)學(xué)史與 初中數(shù)學(xué)教學(xué),數(shù)學(xué)史與 初中數(shù)學(xué)教學(xué),數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué),附加式 復(fù)制式 順應(yīng)式 重構(gòu)式,案例0 零的危險(xiǎn),● 摩訶毗羅 (Mahāvīra , 9世紀(jì)):《計(jì)算方法剛要》 (The Ganita-Sāra-Sangraha),● S

2、cripati (11世紀(jì)): Ganita-tilaka,● 婆羅摩笈多 (Brahmagupta , 598-670): 《婆羅門修正體系》 (Brahmasphuta-Siddhanta),案例0 零的危險(xiǎn),●婆什伽羅 (Bhāskara, 1114 – ca. 1185):《莉拉沃蒂》,●馬丁·歐姆 (Martin Ohm, 1792-1872) ：,● 德蒙維爾 (A. L. G. Demonvill

3、e, ? 19世紀(jì)),案例1 無(wú)理數(shù)無(wú)理嗎？,無(wú)理數(shù)的由來(lái)● 不合常理的數(shù)？● 沒(méi)有秩序的數(shù)？● 沒(méi)有理由的數(shù)？,案例2 平方差公式,趙 爽：負(fù)薪余日，聊觀周髀,文字語(yǔ)言：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。,符號(hào)語(yǔ)言：,變形公式：,,案例2 平方差公式,辨析：下列兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，那些可以使用平方差公式，如果不能使用平方差公式，你用什么方法計(jì)算？,（2）,（1）,（4）,（3）,（5）,案例2 平方差

4、公式,例1、計(jì)算：,（2）,（1）,（4）,（3）,案例2 平方差公式,例2、用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：,（2）,（1）,（3）,案例2 平方差公式,思考題：,已知兩數(shù)的和為 ，積為 ，求這兩個(gè)數(shù)。,公元3世紀(jì)，古希臘代數(shù)學(xué)鼻祖丟番圖（Diophantus）在其《算術(shù)》中運(yùn)用了平方差公式?！端阈g(shù)》第1卷第27題：“已知兩數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)?！?案例2 平方差公式,通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

5、,（1）說(shuō)說(shuō)應(yīng)用平方差公式的條件，以及注意事項(xiàng)。,（2）你覺(jué)得平方差公式的歷史對(duì)你的學(xué)習(xí)有幫助嗎？ 如果有幫助，主要是哪方面的？,（3）本節(jié)課你記憶最深刻的是哪個(gè)環(huán)節(jié)，為什么？,案例2 平方差公式,練習(xí)題：計(jì)算：,（2）,（1）,（4）,（3）,（5）,案例2 平方差公式,,,案例 3 第一個(gè)解分式方程的人,Nicholas Saunderson (1682-1739):代數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,案例 4 不等號(hào)的歷史,案

6、例 4 不等號(hào)的歷史,,案例 5 笛卡兒的靈感,,,案例6 古今多少事 都在勾股中,真理：她的標(biāo)志是永恒 一旦愚昧的世界見(jiàn)到她的光芒畢達(dá)哥拉斯定理今天依然正確猶如初次被傳授給兄弟會(huì)一樣女神們以這束光芒相饋贈(zèng)畢達(dá)哥拉斯回祭一份厚禮一百頭牛，烤熟切片 表達(dá)對(duì)她們的無(wú)限感激,Heinrich Heine (1797-1856),從那一天起，當(dāng)它們猜測(cè)一個(gè)新的真理會(huì)被揭去面紗在那惡魔似的圍欄里，一陣陣哀

7、鳴立即爆發(fā)無(wú)力阻擋真理發(fā)現(xiàn)者的暴行畢達(dá)哥拉斯讓它們永不安寧它們瑟瑟顫抖著絕望地閉上了眼睛,●畢達(dá)哥拉斯定理,,歐幾里得的證明,新娘的坐椅,案例6 古今多少事 都在勾股中,Henry Perigal (1801-1898),案例6 古今多少事 都在勾股中,數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué),附加式 復(fù)制式 順應(yīng)式 重構(gòu)式,案例7 一元一次方程,案例7 一元一次方程,斐波納契《計(jì)算之書(shū)》：樹(shù)的7/12部分在地下，長(zhǎng)21尺，

8、求樹(shù)長(zhǎng)?！毕喈?dāng)于方程 。,案例7 一元一次方程,《計(jì)算之書(shū)》：● 獅子在洞中，洞深50尺，獅子每天向上爬 1/7尺，向下爬1/9尺。問(wèn)：獅子需要幾天才能爬出洞？● 兩只螞蟻相距100步，朝同一點(diǎn)同向而行。第一只螞蟻每天向前爬1/3步，又向后退1/4步；第二只螞蟻每天向前爬1/5步，又向后退1/6步。問(wèn)：第一只螞蟻幾天后追上第二只螞蟻？● 狐貍在狗前面50步；狗在后面追。狗每跑9步，狐貍跑6步。問(wèn)狐貍跑幾步后被狗追上？,案例7

9、一元一次方程,● 《九章算術(shù)》：“今有池，五渠注之。其一渠開(kāi)之，少半日一滿；次，一日一滿；次，二日半一滿；次，三日一滿；次，五日一滿。今皆決之，問(wèn)幾何日滿池？”● 《計(jì)算之書(shū)》：“獅子4小時(shí)吃掉一只羊。豹子5小時(shí)，熊6小時(shí)。問(wèn)：把一只羊扔給它們，幾小時(shí)可吃完？”,案例7 一元一次方程,●阿爾昆《益智問(wèn)題集》一人見(jiàn)山上羊群，他自言自語(yǔ)道：“我如果有這許多羊，再加上這許多，再加上一半，再加上四分之一，再加上我家里那一只，共有100

10、只?！眴?wèn)：羊群有多少只羊？●前蘇聯(lián)問(wèn)題空中飛過(guò)一群雁，迎面又飛來(lái)一只雁，說(shuō)：“您好，你們有100只嗎？”雁隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)說(shuō)：“不，現(xiàn)有數(shù)加上現(xiàn)有數(shù)，再加上現(xiàn)有數(shù)的一半、再加上它的四分之一，連您算在內(nèi)，才是100只?！眴?wèn)：雁群有幾只雁？,案例 7 一元一次方程,行人啊，請(qǐng)稍駐足 這里埋葬著丟番圖 上帝賦予他一生

11、的六分之一 享受童年的幸福 再過(guò)十二分之一，兩頰長(zhǎng)胡 又過(guò)了七分之一，燃起結(jié)婚的蠟燭 貴子的降生盼了五年之久 可憐那遲到的寧馨兒 只活到父親壽命的半數(shù)

12、 便進(jìn)入冰冷的墳?zāi)?悲傷只有通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)消除 四年后，他自己也走完了人生旅途,案例7 一元一次方程,●《計(jì)算之書(shū)》一人經(jīng)過(guò)7座大門進(jìn)入樂(lè)園，摘蘋果若干。當(dāng)他離開(kāi)果園時(shí)，他把一半蘋果加上１個(gè)蘋果給了第一個(gè)門衛(wèi)；把剩下的一半加上一個(gè)給了第二個(gè)門衛(wèi)；類似地，依次把剩下的蘋果分給其他五個(gè)門衛(wèi)。當(dāng)他離開(kāi)果園時(shí)，只剩下了

13、1個(gè)蘋果。問(wèn)：此人在樂(lè)園摘了多少個(gè)蘋果？,案例 8 二元一次方程組,“雞兔同籠”：今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問(wèn)雞、兔各幾何？● 你能用一元一次方程 來(lái)解這個(gè)問(wèn)題嗎？● 若把雞和兔的只數(shù)分 別表示成x 和y，則如 何列方程？,案例 8 二元一次方程組,高彥休《唐闕史》 一位行人傍晚經(jīng)過(guò)一個(gè)樹(shù)林，忽聽(tīng)得林間有人在說(shuō)話，細(xì)聽(tīng)方知是一群竊賊在討論分贓之事。只聽(tīng)得竊賊說(shuō)：“每人

14、6匹，則多出5匹；每人7匹，則又少了8匹?！眴?wèn)：共有幾個(gè)竊賊，幾匹贓物？,程大位《算法統(tǒng)宗》 昨日獨(dú)看瓜，因事來(lái)家。牧童盜去眼昏花。信步廟東墻外過(guò)，聽(tīng)得爭(zhēng)差。十三俱分咱，十五增加。每人十六少十八。借問(wèn)人瓜各有幾？已會(huì)先答。,案例 8 二元一次方程組,案例 8 二元一次方程組,有盜布者，聚于橋下分贓。恰有過(guò)橋者，聽(tīng)得爭(zhēng)論：每人12 匹，余12 匹；每人14 匹，不足 6 匹。問(wèn)盜賊幾人、盜布幾匹？（日本：《塵劫記》）,騾子和驢馱著酒

15、囊行走在路上。為酒囊重量所壓迫，驢痛苦地抱怨著。聽(tīng)到驢的怨言，騾子給她出了這樣一道題：“媽媽，你為何眼淚汪汪，滿腹牢騷，抱怨的應(yīng)該是我才對(duì)呀！因?yàn)?，如果你給我一袋酒，我負(fù)的重量就是你的2倍；若你從我這兒拿去一袋，則你我所負(fù)重量剛好相等?！焙眯牡南壬瑪?shù)學(xué)大師，請(qǐng)告訴我，他們所負(fù)酒囊各有幾袋？（歐幾里得，前3世紀(jì)）,案例 8 二元一次方程組,油畫《雅典學(xué)派》中的歐幾里得(梵蒂岡,1986）,為了鼓勵(lì)兒子學(xué)好算術(shù)，兒子每做對(duì)一道題，父

16、親給他8分錢；做錯(cuò)一道題，罰5分錢。做完26道題后，誰(shuí)也不用給誰(shuí)錢。問(wèn)：兒子做對(duì)了幾道題？（克拉維斯《代數(shù)》）,案例 8 二元一次方程組,埃及的金字塔,法國(guó)的盧浮宮入口設(shè)計(jì)師：貝聿銘（華裔）,案例 9 等腰三角形的性質(zhì),等腰三角形：有兩條邊相等的三角形。,等腰三角形的相關(guān)名稱：,腰,腰,底 邊,頂角,底角,底角,除了AB=AC，還有其它相等的量嗎？,案例 9 等腰三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)：,等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱

17、軸是頂角平分線所在的直線。,等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）,符號(hào)語(yǔ)言： ∵△ABC中，AB=AC （已知） ∴∠B=∠C （等邊對(duì)等角）,案例 9 等腰三角形的性質(zhì),歐幾里得:古希臘數(shù)學(xué)家，“幾何之父”,《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，被認(rèn)為是最成功的教科書(shū)。,案例 9 等腰三角形的性質(zhì),如圖：已知△ABC中，AB=AC，說(shuō)明∠ABC= ∠ACB 的理由。,案例 9 等腰三角形的性質(zhì),現(xiàn)代的桁架橋,

18、現(xiàn)代的桁架橋,老城區(qū)里櫻桃園的桁架式建筑,德國(guó)傳統(tǒng)的木構(gòu)桁架建筑,英國(guó)福斯灣橋鋼懸臂桁架梁,任務(wù)單一：有關(guān)“等邊對(duì)等角”的練習(xí)1、已知△ABC中，AB=AC，∠B=70°， 則∠C=____ ,∠A=_____。2、已知△ABC中，AB=AC，一個(gè)內(nèi)角為70°， 則底角為_(kāi)______。3、已知△ABC中，AB=AC，一個(gè)外角為70°， 則底角為_(kāi)______。4、已知△

19、ABC為等腰三角形，∠B=70°， 則∠A=____________。5、已知△ABC為等腰三角形，∠B=100°， 則∠A=____________。,案例 9 等腰三角形的性質(zhì),根據(jù)上面疊合法的說(shuō)理，線段AD擔(dān)任了什么角色？,等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。,簡(jiǎn)稱：等腰三角形的三線合一,案例 9 等腰三角形的性質(zhì),“等腰三角形的三線合一”性質(zhì)用符號(hào)表述：（1）等

20、腰三角形的頂角平分線平分底邊 并且垂直于底邊。 △ABC中，如果AB=AC，∠1=∠2， 那么，_____=_____,且_______.（2）等腰三角形底邊上的中線 垂直于底邊，并且平分頂角。 △ABC中，如果AB=AC，________， 那么，_____,且_______.（3）等腰三角形底邊上的高 平分底邊和頂角。 △ABC中，如果AB=AC，_

21、_______， 那么，_____,且_______.,案例 9 等腰三角形的性質(zhì),埃及古墓中出土的測(cè)量工具形狀的護(hù)身符,,,,等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用：,案例 9 等腰三角形的性質(zhì),古代的水準(zhǔn)儀由一個(gè)等腰三角形以及懸掛在頂點(diǎn)處的鉛垂線組成。測(cè)量時(shí)，調(diào)整底邊的位置，如果鉛垂線經(jīng)過(guò)底邊中點(diǎn)，就表明底邊垂直于鉛垂線，即底邊是水平的。,案例 9 等腰三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)在說(shuō)理方面的應(yīng)用：,,例1：如圖，已知AB=AC，∠BAC

22、=110°，AD是△ABC的中線，求∠1和∠2的度數(shù)。,,例2：如圖，已知AB=AC，AE=AF， AO是△AEF的邊EF上的中線， AO的延長(zhǎng)線交BC于D. 說(shuō)明AD⊥BC的理由。,案例 9 等腰三角形的性質(zhì),例3、如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線于點(diǎn)E，CE與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，若CE＝5，求BD的長(zhǎng)．,案例 9

23、 等腰三角形的性質(zhì),課堂小結(jié)：,1、你知道了等腰三角形的哪些性質(zhì)？ 2、本節(jié)課的學(xué)習(xí)你還了解了哪些知識(shí)？,案例 9 等腰三角形的性質(zhì),案例 10 扇形的面積,,開(kāi)普勒 (J. Kepler, 1571-1630),相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。,相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì) 應(yīng)角平分線的以及周長(zhǎng)的比都等于相似比。,相似三角形的面積的比等于相似比的平方。,相似三角形的性質(zhì)：,案例11 相似三角形的應(yīng)用,1

24、、《九章算術(shù)》勾股章（17）： 今有邑方二百步，各開(kāi)中門。出東門一十五步有木。問(wèn)：出南門幾何步而見(jiàn)木？,案例11 相似三角形的應(yīng)用,2、今有邑，東西七里，南北九里，各開(kāi)中門。出東門一十五里有木。問(wèn)：出南門幾何步而見(jiàn)木？（學(xué)生自己畫圖求解）,3、《九章算術(shù)》勾股章（19）：今有邑方不知大小，各開(kāi)中門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見(jiàn)木。問(wèn)：邑方幾何？,案例11 相似三角形的應(yīng)用,4、《九章算術(shù)》勾股章（24）：今有井徑

25、五尺，不知其深。立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸。問(wèn)：井深幾何？,案例11 相似三角形的應(yīng)用,5、《九章算術(shù)》勾股章（23）：今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九十五尺。人立木東三里，望木末適與山峰斜平。人目高七尺。問(wèn)：山高幾何？,案例11 相似三角形的應(yīng)用,介紹九章算術(shù)與劉徽：,《九章算術(shù)》是我國(guó)流傳至今最古老的數(shù)學(xué)專著之一，它成書(shū)于西漢時(shí)期。是中國(guó)最重要的一部經(jīng)典數(shù)學(xué)著作，它的完成奠定了中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)

26、，在中國(guó)數(shù)學(xué)史上占有極為重要的地位?，F(xiàn)傳本《九章算術(shù)》共收集了246個(gè)應(yīng)用問(wèn)題和各種問(wèn)題的解法，分別隸屬于方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。,劉徽：魏晉時(shí)期山東人，出生在公元3世紀(jì)20年代后期。是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位。他的《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是我國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。劉徽著作的“九章算術(shù)注”，主要是給“九章算術(shù)”的術(shù)文（命題）作解釋和邏輯證明，更正其中的個(gè)別

27、錯(cuò)誤公式。有了劉徽的注釋，“九章算術(shù)”才得以成為一部完美的古代數(shù)學(xué)教科書(shū)。主要貢獻(xiàn)：在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法。在幾何方面，提出了"割圓術(shù)"，并利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.14的結(jié)果。,案例11 相似三角形的應(yīng)用,金字塔：底部是正方形，四個(gè)側(cè)面都是相同的等腰三角形,早在公元前6世紀(jì)，希臘幾何學(xué)的鼻祖泰勒斯（Thales）就是運(yùn)用這個(gè)方法測(cè)量金字塔的高度的

28、。,案例11 相似三角形的應(yīng)用,課后思考題：（借助于相似三角形的性質(zhì)，泰勒斯還能快速測(cè)量出輪船離海岸的距離。） 在某沿海的海岸上有一座燈塔，為遇難輪船提供緊急救援工作，但人們經(jīng)常為無(wú)法確切得知輪船離海岸的距離而苦惱，直到有一天泰勒斯解決了這個(gè)問(wèn)題，如圖所示，你能說(shuō)出他所設(shè)計(jì)的原理與方法嗎？,案例11 相似三角形的應(yīng)用,案例11 相似三角形的應(yīng)用,案例 12 平均數(shù),公元前428年冬，普拉提亞人被伯羅奔尼撒人包圍。不久，城

29、中糧食短缺，他們處于絕望之中。由于無(wú)望從雅典人那里獲得援助，也沒(méi)有其他安全突圍的方法，他們計(jì)劃棄城而去。他們打算做梯子翻過(guò)敵人的圍墻，希望能殺出一條血路。梯子的高度要與敵人圍墻的高度一樣，為此，可以數(shù)敵人城墻上磚塊的層數(shù)來(lái)計(jì)算城墻的高度。在相同的時(shí)間，很多人數(shù)了磚塊的層數(shù)。問(wèn)：如何確定磚塊層數(shù)？,數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué),附加式 復(fù)制式 順應(yīng)式 重構(gòu)式,案例13 用字母表示數(shù),案例13 用字母表示數(shù),三角形數(shù),,案例13 用字母

30、表示數(shù),正方形數(shù),案例13 用字母表示數(shù),,案例13 用字母表示數(shù),教師小結(jié)(1) 數(shù)學(xué)無(wú)處不在，關(guān)鍵是你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的眼睛？(2) 形和數(shù)可以互相轉(zhuǎn)化。(3) 數(shù)量關(guān)系可以用字母簡(jiǎn)明地表示出來(lái)，用字母來(lái)表示數(shù)是數(shù)學(xué)中很重要的一個(gè)思想方法，在接下來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們將繼續(xù)體會(huì)字母表示數(shù)的優(yōu)越性。(4) 畢氏學(xué)派還用字母表示出了各種形數(shù)的規(guī)律，有興趣的同學(xué)可以在課下來(lái)跟老師探討。,Thales （前6世紀(jì)）,案例 14 全等

31、三角形的應(yīng)用,行船測(cè)距,案例 14 全等三角形的應(yīng)用,有一個(gè)故事說(shuō)，拿破侖軍隊(duì)在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師用運(yùn)用泰勒斯的方法迅速測(cè)得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎(jiǎng)。因此，從古希臘開(kāi)始，角邊角定理在測(cè)量中一直扮演者重要角色。,案例 14 全等三角形的應(yīng)用,在抗美援朝戰(zhàn)爭(zhēng)中，一名志愿軍戰(zhàn)士利用泰勒斯的方法測(cè)量敵營(yíng)的距離。,案例 14 全等三角形的應(yīng)用,學(xué)生在課上演示泰勒斯的方法,案例 14 全等三角形的應(yīng)用,學(xué)生在課上給

32、出的測(cè)量全等三角形方案,案例 14 全等三角形的應(yīng)用,S1: 所有的話題都讓學(xué)生感興趣，提高了上課的效率，多年之后故事會(huì)永遠(yuǎn)留在頭腦中。在校外上輔導(dǎo)班時(shí)，用類似的問(wèn)題去問(wèn)別的學(xué)校的同學(xué)，他們都對(duì)“全等三角形如何用”沒(méi)概念，感覺(jué)很驕傲，有種博士生的感覺(jué)，在向其他同學(xué)講授時(shí)，很津津樂(lè)道。S2: 不會(huì)影響學(xué)習(xí)成績(jī)，更不會(huì)影響學(xué)習(xí)時(shí)間。這樣的課在我們理論的基礎(chǔ)上多一種知識(shí)的了解，而且這個(gè)了解不是可有可無(wú)的而是有多有少的。在正課當(dāng)中，無(wú)論從哪

33、個(gè)角度講解都會(huì)讓我們對(duì)知識(shí)印象更深，增加對(duì)知識(shí)的理解，當(dāng)然一定要以正課為主。,案例 14 全等三角形的應(yīng)用,T1：這樣的課教師和學(xué)生都很感興趣，很生動(dòng)，學(xué)生的積極性完全調(diào)動(dòng)起來(lái)，是數(shù)學(xué)與實(shí)際結(jié)合最好的范例。T2：最好能資源共享，多展示幾節(jié)這樣的課，讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)與生活緊密相關(guān)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決它。如果所有的課都能以這種形式來(lái)上，那么學(xué)生一定都會(huì)喜歡數(shù)學(xué)課!,案例15 天上人間,日晷（古埃及、巴

34、比倫、古希臘Anaximander）,案例15 天上人間,Aristarchus（310 B.C.-230B.C.）,月亮半圓時(shí)刻日、地、月的位置關(guān)系,數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué),附加式 復(fù)制式 順應(yīng)式 重構(gòu)式,愛(ài)琴海,敘拉古城,阿基米德（Archimedes, 前287-前212）,案例16 同底數(shù)冪的運(yùn)算,,1后面接連寫上63個(gè)0 ，這么大的數(shù)，真要寫起來(lái)，簡(jiǎn)直是天方夜譚！,,1后面接連寫上63個(gè)0，就是 ，它表示63

35、個(gè)10相乘,,n個(gè)a相乘也可以寫成,讀作a的n次方，其中a表示底數(shù)，正整數(shù)n表示指數(shù)，a的n次乘方的結(jié)果叫做a的n次冪,,a的n次冪,案例16 同底數(shù)冪的運(yùn)算,阿基米德的《數(shù)沙者》給出了下面兩行數(shù)：,,,,,,,,,,第一行數(shù)某兩項(xiàng)的乘積對(duì)應(yīng)第二行數(shù)相應(yīng)兩項(xiàng)的和。,探索同底數(shù)冪乘法的規(guī)律,給定兩行數(shù)：,,,,,,案例16 同底數(shù)冪的運(yùn)算,文字表述:同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。,（m、n、p都是正整數(shù)）,同底數(shù)冪乘法法則,

36、案例16 同底數(shù)冪的運(yùn)算,例1、計(jì)算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示：,,,,案例16 同底數(shù)冪的運(yùn)算,例2、計(jì)算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示：,,,案例16 同底數(shù)冪的運(yùn)算,例3、計(jì)算：,,,,案例16 同底數(shù)冪的運(yùn)算,,小結(jié)：你覺(jué)得了解冪的歷史對(duì)你的學(xué)習(xí)有哪方面的幫助？你喜歡聽(tīng)有關(guān)數(shù)學(xué)史的故事嗎？為什么？你理解并掌握了同底數(shù)冪乘法的法則了嗎？能否用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言敘述出來(lái)？在同底數(shù)冪乘法運(yùn)算過(guò)程中應(yīng)該注意哪些事項(xiàng)？你

37、對(duì)本堂課中哪個(gè)環(huán)節(jié)比較感興趣？原因是什么？,案例16 同底數(shù)冪的運(yùn)算,案例17 一元二次方程的概念,一元二次方程概念的引入左：全國(guó)教材 華師大版右：上海教材,例 1 (1) 矩形面積為12，寬為長(zhǎng)的3/4。問(wèn)該矩形的長(zhǎng)、寬各為多少？（Moscow紙草書(shū)） (2) 已知矩形面積為12，長(zhǎng)比寬多4。問(wèn)該矩形的長(zhǎng)為多少？列出矩形的長(zhǎng)所滿足的方程。,案例17 一元二次方程的概念,例 2 (1) 直角三角形一直角

38、邊是另一直角邊的2 1/2倍，面積為20。兩直角邊各為多少？ (2)直角三角形兩條直角邊之和為13，面積為20。兩直角邊各為多少？,案例17 一元二次方程的概念,學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)的看法,● 通過(guò)數(shù)學(xué)史上的問(wèn)題，可以了解到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的密切聯(lián)系；● 數(shù)學(xué)史展示了解某些定理的起源，有助于更好地理解數(shù)學(xué)；● 數(shù)學(xué)史引人入勝，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣；● 通過(guò)數(shù)學(xué)史可以豐富知識(shí)，增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)；● 數(shù)學(xué)史陶冶情操、凈化心靈；● 數(shù)學(xué)史讓

39、枯燥的數(shù)學(xué)課變得輕松；● 通過(guò)數(shù)學(xué)史可以學(xué)習(xí)古人的智慧。,HPM教學(xué)后教師的變化,J教師的變化● 初步形成了自己的教學(xué)風(fēng)格一種超越。在J教師的HPM教學(xué)中，數(shù)學(xué)史不是擺設(shè)，而是改進(jìn)教學(xué)的工具，實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)史的融入促進(jìn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)，最終也提高他們的學(xué)習(xí)成績(jī)。一座橋梁。在J教師的課堂上，學(xué)生為薩默斯隧道的神奇而驚嘆，為泰勒斯的智巧而稱奇，為希帕索斯追求真理的執(zhí)著而震撼，為阿基米德的海邊奇思而頓悟，為趙爽的“負(fù)薪余日、聊觀周髀”而感

40、動(dòng)，……J教師的教學(xué)已經(jīng)在數(shù)學(xué)和人文之間架起了一座美麗的橋梁。一個(gè)視角。HPM介入教學(xué)后，J教師不再“吝惜”概念引入的時(shí)間，而常常采用發(fā)生教學(xué)法，追求自然無(wú)痕的境界，學(xué)生們?cè)谡n堂里獲得了如沐春風(fēng)般的愉悅感。,HPM教學(xué)后教師的變化,● 對(duì)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律有更深的理解HPM介入教學(xué)后，J教師經(jīng)常會(huì)在教學(xué)中參照歷史這面鏡子，以歷史指導(dǎo)自己的教學(xué)。比利時(shí)-美國(guó)科學(xué)史家薩頓（G. Sarton, 1884～1956）說(shuō)得好：“歷史告訴我們，

41、一種工具的采用幾乎在每一種情形下都是極其緩慢的?！薄坝米帜副硎緮?shù)”的歷史橫跨兩千多年，直到16世紀(jì)末，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（F. Viète, 1540～1603）才首次用字母來(lái)表示任意數(shù)。歷史啟示我們：學(xué)生對(duì)這一思想的理解必定是一個(gè)緩慢的過(guò)程，在后續(xù)的教學(xué)中要慢慢體會(huì)，絕不能一蹴而就。只有讓學(xué)生明白這一點(diǎn)，他們才會(huì)有信心把它學(xué)好，并充滿期待。,HPM教學(xué)后教師的變化,● 批判教材的能力得到了提升教師從HPM的視角來(lái)審視教材，批判

42、能力也得到了提高。以下是她對(duì)教材中的全等三角形判定定理的思考?！斑呥呥叀眲t未經(jīng)證明直接作為定理給出，只在注釋中說(shuō)明：我們將在以后補(bǔ)上關(guān)于“三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”的說(shuō)理。翻閱教參，發(fā)現(xiàn)在該節(jié)課的“注意事項(xiàng)”中有這樣的說(shuō)法：“邊邊邊”判定方法，教材是直接給出的，在八年級(jí)第一學(xué)期將對(duì)它進(jìn)行證明。但事實(shí)上，教材利用拼接和等腰三角形知識(shí)，只對(duì)直角三角形全等作了證明，并未進(jìn)一步說(shuō)明“邊邊邊”定理。實(shí)際上，用拼接和等腰三角形知識(shí)說(shuō)明“邊邊邊

43、”的方法，根本不用等到八年級(jí)，按照課本的體例安排，只要學(xué)完等腰三角形的知識(shí)，在七年級(jí)上學(xué)期就馬上可以說(shuō)明了。,HPM教學(xué)后教師的變化,● 拓展課本知識(shí)的意識(shí)得到了增強(qiáng)用歷史的眼光審視教材，J教師常發(fā)現(xiàn)其中的不足之處，于是，就常常拓展一些有利于學(xué)生理解、體現(xiàn)知識(shí)應(yīng)用、引人入勝的內(nèi)容?！叭热切蔚膽?yīng)用”就是其中一例。從歷史上看，全等三角形和相似三角形一樣，也源于測(cè)量。但教材有相似三角形的應(yīng)用，卻無(wú)全等三角形的應(yīng)用，對(duì)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的處理并

44、不一致。J教師對(duì)全等三角形知識(shí)作了拓展，結(jié)合數(shù)學(xué)史，增加了一節(jié)全等三角形應(yīng)用課。,HPM教學(xué)后教師的變化,●教學(xué)研究能力得到了提高經(jīng)過(guò)兩年的行動(dòng)研究，J教師的教學(xué)研究能力有了很大的提高。在《數(shù)學(xué)教學(xué)》上發(fā)表了一篇HPM教學(xué)論文，并在上海市教學(xué)論文評(píng)比中獲獎(jiǎng)；另一篇論文也在投稿之中。2011年5月，在華東師范大學(xué)主辦的第四屆“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育國(guó)際研討會(huì)”上，J教師作了“數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)的行動(dòng)研究”的學(xué)術(shù)報(bào)告，獲得與會(huì)者的好評(píng)。自

45、此，J教師不定期與大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究者、研究生以及具有共同愛(ài)好的中學(xué)數(shù)學(xué)教師聚會(huì)，討論初中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史以及HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，J教師如今已經(jīng)成為國(guó)內(nèi)HPM學(xué)術(shù)共同體的一員。,● 一門課程 “數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育”應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教師在職培訓(xùn)的重要課程之一?！?一種模式 大、中學(xué)教師的合作是HPM實(shí)踐研究的理想模式?！?一批案例 要讓更多的數(shù)學(xué)教師接受HPM，就必須讓他們看到HPM教學(xué)案例的成功之處以及HPM對(duì)于專業(yè)發(fā)展的巨大