全國大學生數學競賽數學類比賽大綱

1、數學分析占50%，高等代數占35%，解析幾何占15%，具體內容如下：Ⅰ、數學分析部分一、集合與函數1.實數集、有理數與無理數的稠密性，實數集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理.2.上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界（無界）集、上的閉矩形套定理、聚點定理、有限復蓋定理、基本點列，以及上述概念和定理在上的推廣.3.函數、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數概念，反函數與逆變換，反函數存在性定理，初

2、等函數以及與之相關的性質.二、極限與連續(xù)1.數列極限、收斂數列的基本性質（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質）.2.數列收斂的條件（Cauchy準則、迫斂性、單調有界原理、數列收斂與其子列收斂的關系），極限及其應用.3.一元函數極限的定義、函數極限的基本性質（唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質、迫斂性），歸結原則和Cauchy收斂準則，兩個重要極限及其應用，計算一元函數極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號O與o的意

3、義，多元函數重極限與累次極限概念、基本性質，二元函數的二重極限與累次極限的關系.4.函數連續(xù)與間斷、一致連續(xù)性、連續(xù)函數的局部性質（局部有界性、保號性），有界閉集上連續(xù)函數的性質（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續(xù)性）.三、一元函數微分學1.導數及其幾何意義、可導與連續(xù)的關系、導數的各種計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導的關系、一階微分形式不變性.2.微分學基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，

4、Cauchy定理，Tayl公式(Peano余項與Lagrange余項).3.一元微分學的應用：函數單調性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數及其應用、曲線的凹凸性、拐點、漸近線、函數圖象的討論、洛必達（LHospital）法則、近似計算.四、多元函數微分學1.偏導數、全微分及其幾何意義，可微與偏導存在、連續(xù)之間的關系，復合函數的偏導數與全微分，一階微分形式不變性，方向導數與梯度，高階偏導數，混合偏導數與順序無關性，二元函數中值定理與Ta

5、yl公式.2.隱函數存在定理、隱函數組存在定理、隱函數（組）求導方法、反函數組與坐標變換.3.幾何應用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）.4.極值問題（必要條件與充分條件），條件極值與Lagrange乘數法.五、一元函數積分學1.原函數與不定積分、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部積分法）、有理函數積分：型，型.2.定積分及其幾何意義、可積條件（必要條件、充要條件：）、可積函數類.3.定積

6、分的性質（關于區(qū)間可加性、不等式性質、絕對可積性、定積分第一中值定理）、變上限積分函數、微積分基本定理、NL公式及定積分計算、定積分第二中值定理.4.無限區(qū)間上的廣義積分、Canchy收斂準則、絕對收斂與條件收斂、非負時的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）、Abel判別法、Dirichlet判別法、無界函數廣義積分概念及其收斂性判別法.5.微元法、幾何應用（平面圖形面積、已知截面面積函數的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉體體積），其他應用

7、.2.n維向量的運算與向量組.3.向量的線性組合、線性相關與線性無關、兩個向量組的等價.4.向量組的極大無關組、向量組的秩.5.矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關系.6.線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結構.7.齊次線性方程組的基礎解系、解空間及其維數四、矩陣1.矩陣的概念、矩陣的運算(加法、數乘、乘法、轉置等運算)及其運算律.2.矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關系.3.矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件.4

8、.分塊矩陣及其運算與性質.5.初等矩陣、初等變換、矩陣的等價標準形.6.分塊初等矩陣、分塊初等變換.五、雙線性函數與二次型1.雙線性函數、對偶空間2.二次型及其矩陣表示.3.二次型的標準形、化二次型為標準形的配方法、初等變換法、正交變換法.4.復數域和實數域上二次型的規(guī)范形的唯一性、慣性定理.5.正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣六、線性空間1.線性空間的定義與簡單性質.2.維數，基與坐標.3.基變換與坐標變換.4.線性子空間.

9、5.子空間的交與和、維數公式、子空間的直和.七、線性變換1.線性變換的定義、線性變換的運算、線性變換的矩陣.2.特征值與特征向量、可對角化的線性變換.3.相似矩陣、相似不變量、哈密爾頓凱萊定理.4.線性變換的值域與核、不變子空間.八、若當標準形1.矩陣.2.行列式因子、不變因子、初等因子、矩陣相似的條件.3.若當標準形.九、歐氏空間1.內積和歐氏空間、向量的長度、夾角與正交、度量矩陣.2.標準正交基、正交矩陣、施密特(Scht)正交化方