數(shù)學(xué)史之微積分的發(fā)展-1

1、微積分的創(chuàng)立,微積分的創(chuàng)立與解析幾何的發(fā)明一起，標(biāo)志著文藝復(fù)興后歐洲近代數(shù)學(xué)的興起。,,解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，它將變量引進(jìn)了數(shù)學(xué)，使運(yùn)動(dòng)與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的創(chuàng)立搭起了舞臺(tái)。 微積分的思想萌芽，特別是積分學(xué)，部分可以追潮到古代。我們已經(jīng)知道，面積和體積的計(jì)算自古以來(lái)一直是數(shù)學(xué)家們感興趣的課題，在古代希措、中國(guó)和印度數(shù)學(xué)家們的著述中，不乏用無(wú)窮小過(guò)程計(jì)算特殊形狀的面積、體積和曲線長(zhǎng)的例子。前面已

2、經(jīng)介紹過(guò)阿基米德、劉微和祖沖之父子等人的方法，他們的工作，確實(shí)是人們建立一般積分學(xué)的漫長(zhǎng)努力的先驅(qū)。,,與積分學(xué)相比而言，微分學(xué)的起源則要晚得多。刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問(wèn)題是求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問(wèn)題。 古希臘學(xué)者曾進(jìn)行過(guò)作曲線切線的嘗試，如阿基米德《論螺線》中給出過(guò)確定螺線在給定點(diǎn)處的切線的方法；阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》中討論過(guò)圓錐曲線的切線，等等。但所有這些都是基于靜態(tài)的觀點(diǎn),,古代與中世

3、紀(jì)中國(guó)學(xué)者在天文歷法研究中曾涉及到天體運(yùn)動(dòng)的不均勻性及有關(guān)的極大、極小值問(wèn)題，如郭守敬《按時(shí)歷》中求“月離遲疾”(月亮運(yùn)行的最快點(diǎn)和最慢點(diǎn))、求月亮白赤道交點(diǎn)與黃赤道交點(diǎn)距離的極值(郭守敬甚至稱之為“極數(shù)”)等問(wèn)題，但東方學(xué)者以慣用的數(shù)值手段(“招差術(shù)”，即有限差分計(jì)算)來(lái)處理，從而回避了連續(xù)變化率。 總之，在17世紀(jì)以前，真正意義上的微分學(xué)研究的例子可以說(shuō)是很罕見(jiàn)的。,一、微積分的醞釀,近代微積分的醞釀，主要是在17世

4、紀(jì)上半葉這半個(gè)世紀(jì)。 為了理解這一醞釀的背景，我們首先來(lái)賂微回顧一下這一時(shí)期自然科學(xué)的一般形勢(shì)和天文、力學(xué)等領(lǐng)域發(fā)生的重大事件。 首先是1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡，不久伽利略將他制成的第一架天文望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)星空而作出了令世人驚奇不已的天文發(fā)現(xiàn)。望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明不僅引起了天文學(xué)的新高漲，而且推動(dòng)了光學(xué)的研究。,,1619年，開(kāi)普勒公布了他的最后一條行星運(yùn)動(dòng)定律。開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律要意是： 1.行星運(yùn)動(dòng)

5、的軌道是橢圓，太陽(yáng)位于該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)； 2.由太陽(yáng)到行星的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等； 3.行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方成正比。 開(kāi)普勒主要是通過(guò)觀測(cè)歸納出這三條定律從數(shù)學(xué)上推證開(kāi)普勒的經(jīng)驗(yàn)定律，成為當(dāng)時(shí)自然科學(xué)的中心課題之一。,,1638年，伽利略的《關(guān)于兩門(mén)新科學(xué)的對(duì)話》出版。伽利略建立了自由落體定律、動(dòng)量定律等，為動(dòng)力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他認(rèn)識(shí)到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射

6、程應(yīng)在發(fā)射角為45度時(shí)達(dá)到，等等。伽利略本人竭力倡導(dǎo)自然科學(xué)的數(shù)學(xué)化，他的著作激起了人們對(duì)他所確立的動(dòng)力學(xué)概念與定律作精確的數(shù)學(xué)表述的巨大熱情。 凡此一切，標(biāo)志著自文藝復(fù)興以來(lái)在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)開(kāi)始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難，使微分學(xué)的基本問(wèn)題空前地成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。,,當(dāng)時(shí)，人們主要集中的焦點(diǎn)有：非勻速運(yùn)動(dòng)物體的速度與加速度使瞬時(shí)變化率問(wèn)題的研究成為當(dāng)務(wù)之急；望遠(yuǎn)鏡的

7、光程設(shè)計(jì)需要確定透鏡曲面上任一點(diǎn)的法線，這又使求任意曲線的切線問(wèn)題變得不可回避；確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)等涉及的函數(shù)極大值、極小值問(wèn)題也亟待解決。 與此同時(shí)，行星沿軌道運(yùn)動(dòng)的路程、行星矢徑掃過(guò)的面積以及物體重心與引力的計(jì)算等又使積分學(xué)的基本問(wèn)題——面積、體積、曲線長(zhǎng)、重心和引力計(jì)算的興趣被重新激發(fā)起來(lái)。,,在17世紀(jì)上半葉，幾乎所有的科學(xué)大師都致力于尋求解決這些難題的新的數(shù)學(xué)工具，特別是描述運(yùn)

8、動(dòng)與變化的無(wú)限小算法，并且在相當(dāng)短的時(shí)期內(nèi)，取得了迅速的進(jìn)展。 代表性的工作有： 1、開(kāi)普勒與旋轉(zhuǎn)體體積； 開(kāi)普勒方法的要旨，是用無(wú)數(shù)個(gè)同維無(wú)限小元素之和來(lái)確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積。例如他認(rèn)為球的體積是天數(shù)個(gè)小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點(diǎn)在球心，底面則是球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤(pán)之和，并由此計(jì)算出它的體積，然后進(jìn)一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之一

9、。,,2、卡瓦列里不可分量原理 他在《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法。認(rèn)為線是由無(wú)限多個(gè)點(diǎn)組成；面是由無(wú)限多條平行線段組成；立體則是由無(wú)限多個(gè)平行平面組成。他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”。 卡瓦列里利用這條原理計(jì)算出許多立體圖形的體積，他對(duì)積分學(xué)創(chuàng)立最重要的貢獻(xiàn)還在于在1639利用平固下的不可分量原理建立了等價(jià)于下列積分式子：,,3、笛卡兒的“圓法”

10、 笛卡兒的這種代數(shù)方法在推動(dòng)微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點(diǎn)而踏上研究微積分的道路的。 笛卡兒圓法在確定重根時(shí)會(huì)導(dǎo)致極繁復(fù)的代數(shù)計(jì)算，1658年荷蘭數(shù)學(xué)家胡德提出了一套構(gòu)造曲線切線的形式法則，稱為“朗德法則”。朗德法則為確定笛卡兒圓法所需的重根提供了機(jī)械的算法，可以完成求任何代數(shù)曲線的切線斜率時(shí)所要進(jìn)行的計(jì)算。,,4、費(fèi)馬求極大值和極小值方法

11、按費(fèi)馬的方法。設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處取極值，費(fèi)弓用“a+e”代替原來(lái)的未知量a，并使f(a+e)與f(a)逼近,即： f(a+e)～f(a) 這里所提到的“e”就是后來(lái)微積分學(xué)當(dāng)中的“ ”,,5、巴羅的“微分三角形” 巴羅是牛頓的老師。是英國(guó)劍橋大學(xué)第一任“盧卡斯數(shù)學(xué)教授”，也是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的首批 會(huì)員。當(dāng)巴羅發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)到牛頓的杰出才能時(shí)，便

12、于1669年辭去了盧卡斯教授的職位，舉薦自己的學(xué)生——當(dāng)時(shí)才27歲的牛頓來(lái)?yè)?dān)任。巴羅讓賢，已成為科學(xué)史上的佳話。,,6、沃利斯的“無(wú)窮算術(shù)” 沃利斯另“一項(xiàng)重要的研究是計(jì)算四分之 一單位圓的面積，并由此得到 的無(wú)窮乘積表達(dá)式。并有以下猜想：,二、牛頓的“流數(shù)術(shù)”,牛頓于1661年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅，同時(shí)鉆研伽利賂、開(kāi)普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學(xué)院至今還保存著牛頓的讀書(shū)筆記，從這些筆

13、記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的《無(wú)窮算術(shù)》對(duì)他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路1665年8月，劍橋大學(xué)因瘟疫流行而關(guān)閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，競(jìng)成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月。制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力和顏色理論，……，可以說(shuō)牛頓一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖，都是在這兩年描繪的。,1、流數(shù)術(shù)的初建,牛頓對(duì)微積分問(wèn)題的研究始于1664年秋，當(dāng)時(shí)他反復(fù)閱讀笛卡兒《幾何學(xué)》，對(duì)笛

14、卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法。 就在此時(shí)，牛頓首創(chuàng)了小o記號(hào)表示x的無(wú)限小且最終趨于零的增量。 1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，繼續(xù)探討微積分并取得了突破性進(jìn)展。據(jù)他自述，1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又建立了”反流數(shù)術(shù)”(積分法)。1666年 10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以《流數(shù)簡(jiǎn)論》著稱，《流數(shù)簡(jiǎn)論》是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文

15、獻(xiàn)。,2、流數(shù)術(shù)的發(fā)展,《流數(shù)簡(jiǎn)論》標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的。牛頓于1667年春天回到劍橋，對(duì)自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚(yáng)。他在這一年10月當(dāng)選為三一學(xué)院成員，次年又獲碩士學(xué)位，并不是因?yàn)樗谖⒎e分方面的工作，而是因?yàn)樵谕h(yuǎn)鏡制作方面的員獻(xiàn)。但從那時(shí)起直到1693年大約四分之一世紀(jì)的時(shí)間里，牛頓始終不渝努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說(shuō)，先后寫(xiě)成了三篇微積分論文，它們分別是： (1)1669年的《運(yùn)用無(wú)限多項(xiàng)方程的分析》 ；

16、 (2) 1671年的《流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)》； (3) 1691年的《曲線求積術(shù)》。,,牛頓微積分學(xué)說(shuō)最早的公開(kāi)表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》之中。因此《原理》也成為數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代著作。 《原理》在創(chuàng)導(dǎo)首末比方法的同時(shí)保留了無(wú)限小瞬，這種做法常常被認(rèn)為自相矛盾而引起爭(zhēng)議。實(shí)際上，在牛頓的時(shí)代，建立微積分嚴(yán)格基礎(chǔ)的時(shí)機(jī)尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時(shí)，堅(jiān)持對(duì)微積分基礎(chǔ)給出不同解釋，說(shuō)明了他對(duì)微

17、積分基礎(chǔ)所存在的困難的深邃洞察和謹(jǐn)慎態(tài)度。,《原理》被愛(ài)因斯坦盛贊為“無(wú)比輝煌的演繹成就”。全書(shū)從三條基本的力學(xué)定律出發(fā)，運(yùn)用微積分工具，嚴(yán)格地推導(dǎo)證明了包括開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律、萬(wàn)有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威力。 《原理》中的微積分命題雖然都采用了幾何形式來(lái)敘述、證明，但正如牛頓本人后來(lái)解釋的那樣：發(fā)現(xiàn)原理中的絕大多救命題是依靠使用了“新分析

18、法”，然后再“綜合地證明”。事 實(shí)上，1664年參加巴羅主考的三一學(xué)院津貼生考試時(shí)，因歐氏幾何成績(jī)不佳差一點(diǎn)未能通過(guò)。,三、萊布尼茨的微積分,在微積分的創(chuàng)立上，牛頓與萊布尼茨分享榮譽(yù)。 萊布尼茨(1646——1716)出生于德國(guó)萊比錫一個(gè)教授家庭，早年在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時(shí)開(kāi)始接觸伽利略、開(kāi)普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學(xué)思。1667年獲阿爾持多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位，次年開(kāi)始為緬因茨選帝侯服務(wù)，不久被派往巴黎任大使。萊布尼茨在巴

19、黎居留了四年[1672—1676)，這四年對(duì)他整個(gè)科學(xué)生涯的意義，可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年類比，萊布尼茨許多重大的成就包括創(chuàng)立微積分都是在這一時(shí)期完成或奠定了基礎(chǔ)。,1、特征三角形,萊布尼茨在巴黎與荷蘭效學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯的結(jié)識(shí)、交往，激發(fā)了他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣．他通過(guò)卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作，了解并開(kāi)始研究求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問(wèn)題． 與牛頓流數(shù)論的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問(wèn)題的思考，尤

20、其是特征三角形的研究．特征三角形，也稱“微分三角形”，在巴羅的著作中已經(jīng)出現(xiàn)．帕斯卡在特殊情形下也使用過(guò)這種三角形．萊布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形．,,帕斯卡的“例子”是下述的命題： “圓的一個(gè)象限的任何孤的正弦之和，等于界于兩端的兩個(gè)正弦之間的底線段乘以半徑．”這里“正弦”是指縱坐標(biāo)，而在所說(shuō)的相中，每個(gè)縱坐標(biāo)都要乘以相應(yīng)的圓的無(wú)限小弧而不是乘以底的無(wú)限小段。,,從而得到一下結(jié)果： 即有：,2、分析微積分的建立,早在1

21、666年，萊布尼茨在《組合藝術(shù)》一書(shū)中討論過(guò)數(shù)列問(wèn)題并得到許多重要結(jié)論。,,1684年萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》，刊登在《教師學(xué)報(bào)》上，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)．該文是萊布尼茨對(duì)自己1673年以來(lái)微分學(xué)研究的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號(hào)dx，dy。萊布尼茨假設(shè)橫坐標(biāo)x的微分dx是任意的量，縱坐標(biāo)y的微分dy就定義為它與dx之比等于縱坐標(biāo)與次切距之比的那個(gè)量。 《新