淺談伴隨矩陣的性質及其應用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　淺談伴隨矩陣的性質及其應用</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p&g

3、t;<p>　　伴隨矩陣是矩陣理論及線性代數(shù)中的一個基本概念, 是許多數(shù)學分支研究的重要工具. 伴隨矩陣作為矩陣中較為特殊的一類, 它的性質理論與應用有其自身的特點. 而在高等代數(shù)和線性代數(shù)的學習中, 伴隨矩陣只是作為求解逆矩陣的工具出現(xiàn), 并沒有深入的研究. 本課題首先根據伴隨矩陣的基本性質, 系統(tǒng)地討論了伴隨矩陣的運算性質、在特征值和特征向量方面的性質及伴隨矩陣對原矩陣性質的繼承性, 然后對某些特殊矩陣的伴隨矩陣的性質

4、進行了研究, 并將伴隨矩陣作了兩方面的推廣, 最后探討了其在線性代數(shù)解題中的應用. 既拓寬了解決線性代數(shù)問題的思路, 又有助于伴隨矩陣成為其他學科或尖端技術領域中的重要工具. </p><p>　　關鍵詞: 伴隨矩陣; 特殊矩陣; 推廣; 性質; 應用</p><p>　　Discussion on Properties and Applications of Adjoint Matrix

5、</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Adjoint matrix is a basic concept in the matrix theory and linear algebra, and it is an important tool to study many branch of mathematics . As a s

6、pecial matrix, the theory and the application of adjoint matrix have its own character. During Advanced Algebra and Linear Algebra learning, adjoint matrix is only a tool to calculate inverse matrix. It is not studied in

7、 depth. In this paper, many properties of adjoint matrix are firstly discussed in detail: the properties of operation, the properties</p><p>　　Keywords: Adjoint matrix; Special matrix; Promotion; Properties;

8、 Application</p><p><b>　　主要符號表</b></p><p>　　符號 含義</p><p><b>　　矩陣的行列式</b></p><p><b>　　單位矩陣</b></p><

9、p><b>　　階單位矩陣</b></p><p><b>　　矩陣的秩</b></p><p><b>　　矩陣的伴隨矩陣</b></p><p><b>　　矩陣的逆</b></p><p><b>　　矩陣的轉置</b>&

10、lt;/p><p><b>　　階矩陣</b></p><p><b>　　整數(shù)集</b></p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractIII</p

11、><p><b>　　主要符號表IV</b></p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 伴隨矩陣的定義與性質2</p><p>　　2.1 伴隨矩陣的定義2</p><p>　　2.2 伴隨矩陣的基本性質2</p><

12、;p>　　2.3 伴隨矩陣的運算性質4</p><p>　　2.4 伴隨矩陣的繼承性11</p><p>　　2.5 伴隨矩陣在特征值與特征向量方面的性質13</p><p>　　3 特殊矩陣的伴隨矩陣的性質16</p><p>　　4 伴隨矩陣的推廣18</p><p>　　4.1 重伴隨矩陣

13、的定義與性質18</p><p>　　4.2 矩陣的伴隨矩陣的定義與性質23</p><p>　　5 伴隨矩陣的應用25</p><p><b>　　6 小結28</b></p><p><b>　　參考文獻29</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽

14、。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　矩陣的伴隨矩陣是矩陣理論及線性代數(shù)中的一個基本概念, 靈活地運用伴隨矩陣的性質可以解決線性代數(shù)中的許多問題, 比如, 矩陣間一些關系的證明, 求矩陣的逆, 一些復合矩陣的行列式等. 它既是許多數(shù)學分支研究的重要工具, 又是其他學科或尖端領域內研究的必要工具, 如量子力學、剛體力學、流體力學、自動控制

15、論等領域. 因此它既拓寬解決線性代數(shù)問題的思路, 又有助于其他領域更好的發(fā)展.[1-2]</p><p>　　古今中外對伴隨矩陣的研究很多, 并且已得到了許多重要的成果. 如楊聞起在文獻[3]中, 探討了伴隨矩陣在對稱、反對稱、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性質; 文獻[4]中, 王航平也在伴隨矩陣的定義與基本性質的基礎上, 探討了伴隨矩陣的運算性質, 特別研究了乘積矩陣的伴隨矩陣的性質, 并提出了自伴

16、隨矩陣的定義及其性質, 歸納了伴隨矩陣較強的繼承性; 鄭茂玉在文獻[5]中提出了伴隨矩陣與原矩陣之間的聯(lián)系, 探討了伴隨矩陣的性質, 并且將伴隨矩陣推廣到了重; 文獻[6]中, 徐淳寧也探究了重伴隨矩陣的定義及其性質, 得到了一些有意義的結果. 賈美娥在文獻[7]中定義了矩陣的伴隨矩陣, 并初步探討了它的一些性質. 其他的文獻中探討伴隨矩陣的性質還有很多, 不勝枚舉. </p><p>　　盡管對伴隨矩陣的研究已

17、經很多, 但是目前對伴隨矩陣的性質研究還不是很完善. 至今為止, 在《高等代數(shù)》和《線性代數(shù)》的各種教材中, 伴隨矩陣只是作為求解逆矩陣的工具出現(xiàn)的[8], 并沒有進行深入的研究. 基于伴隨矩陣性質的重要性, 本課題在伴隨矩陣的定義和基本性質的基礎上, 詳細歸納討論了伴隨矩陣的運算性質、在特征值和特征向量方面的性質及伴隨矩陣在等價、相似、合同、對稱、正交、正定等性質方面對原矩陣的繼承性; 并且探討了如上（下）三角矩陣、自伴隨矩陣、對角矩

18、陣、冪等矩陣[9]等一些特殊矩陣的伴隨矩陣的性質; 并給出詳細的證明; 然后將伴隨矩陣作了兩方面的推廣, 給出了重矩陣伴隨矩陣的定義及其相關的性質和矩陣的伴隨矩陣的定義及其若干性質, 使伴隨矩陣的性質更具有科學性, 系統(tǒng)性. 最后探討了其在線性代數(shù)解題中的應用.</p><p>　　伴隨矩陣在線性代數(shù)解題中及其各領域中的應用豐富多彩, 因此掌握了伴隨矩陣的性質不僅有利于教師的教學, 也有利于學生的學習. <

19、/p><p>　　2 伴隨矩陣的定義與性質</p><p>　　2.1 伴隨矩陣的定義</p><p>　　定義2.1[8] 在行列式</p><p>　　中劃去元素所在的第行與第列, 剩下的個元素按原來的排法構成一個級的行列式</p><p>　　稱為元素的余子式, 記為, 則稱為的代數(shù)余子式.</p>

20、<p>　　定義2.2 稱由方陣中各個元素的代數(shù)余子式構成的矩陣為伴隨矩陣, 記為, 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　注 這里定義的只有方陣才有伴隨矩陣.</p><p>　　2.2 伴隨矩陣的基本性質</p><p>　　性質2.1 若是矩陣的伴隨矩陣, 則, 且當可逆

21、時, 有</p><p><b>　　或.</b></p><p>　　證明 設, 則有, 的行列式為, 因為</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以.</b></p><p><b>　　同理, 有.<

22、;/b></p><p><b>　　所以.</b></p><p>　　當可逆時, 即, 由于, 方程兩邊同時左乘得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　, &l

23、t;/b></p><p><b>　　繼而可得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質2.2[9] 設是階方陣, 則等式成立.</p><p>　　證明 （1）若, 下面分兩種情況討論</p><p>　　若, 則. 從而, 所以

24、等式成立.</p><p>　　若, 下面用反證法證明</p><p>　　若, 則可逆. 由此得. 由性質2.1, 得, 這與矛盾, 故.</p><p><b>　　所以等式成立.</b></p><p>　　若, 由性質2.1有. 方程兩邊取行列式且根據對角陣行列式的性質, 得, 故有.</p>&l

25、t;p>　　性質2.3[10] 若是階方陣, 則</p><p>　?。?）的充要條件是;</p><p>　　（2）的充要條件是;</p><p>　?。?）的充要條件是.</p><p>　　證明 （1）充分性 由于, 則. 由性質2.2得, 所以可逆, 因此有.</p><p>　　必要性 用反證法

26、證明</p><p>　　若, 由性質2.1得. 又因為, 則可逆. 將兩邊同時右乘, 有, 即得, 所以, 這與矛盾, 所以, 即.</p><p>　?。?）充分性 若, 則矩陣的所有的階子式全為零, 而矩陣的階子式全為零當且僅當?shù)拿總€元素全為零, 所以, 故.</p><p>　　必要性 由于, 那么, 所以矩陣的階子式全為零, 因此.</p>

27、<p>　?。?）充分性 因為, 所以矩陣有一個階子式不等于零, 根據伴隨矩陣的定義, 那么至少有一個元素不等于零, 所以有.</p><p>　　另一方面, 若、均為階方陣, 當時, 則. 事實上, 因為, 所以, 那么有. 因為, 所以又得到, 從而有.</p><p>　　必要性 由于, 則至少有一個元素不等于零, 所以至少有一個階子式不等于零, 所以. 另外, 若

28、, 則, 這與矛盾, 所以. 因此. </p><p>　　說明 以上性質是伴隨矩陣性質研究的基礎, 其他性質的研究主要是圍繞它們展開的.</p><p>　　2.3 伴隨矩陣的運算性質</p><p>　　一、乘積矩陣的伴隨矩陣的運算性質</p><p>　　性質2.4[4] 若為可逆方陣, 為非零常數(shù), 則.</p>&

29、lt;p>　　證明 由可逆矩陣的性質得, 又由性質2.1得, 所以</p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質2.5 若、為階可逆方陣, 則.</p><p>　　證明 因為、均為可逆陣, 所以由性質2.1和可逆陣性質得</p><p><b>　　. </b>&l

30、t;/p><p>　　說明 事實上, 當或不可逆和、都不可逆時結論都成立.</p><p>　　推論2.1 若均為階方陣, 則方陣乘積的伴隨矩陣等于每個方陣的伴隨矩陣的倒序乘積, 即.</p><p>　　二、分塊矩陣的伴隨矩陣的運算性質</p><p>　　性質2.6 設有階可逆陣、及分塊矩陣, 則有</p><p&g

31、t;<b>　　.</b></p><p>　　證明 因為與為階可逆陣, 所以矩陣可逆且, 又可知, 由于, , </p><p><b>　　故有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　推論2.2 設有階可逆方陣及分塊矩陣, 則有</p

32、><p><b>　　.</b></p><p>　　根據性質2.6, 同理可得</p><p>　　性質2.7 若與為階可逆陣, , 那么</p><p><b>　　.</b></p><p>　　推論2.3 設有階可逆方陣為及分塊矩陣, 則有</p>&l

33、t;p><b>　　.</b></p><p>　　三、轉置矩陣的伴隨矩陣的運算性質</p><p>　　性質2.8 若為階方陣, 則有.</p><p>　　證明 設, 則的第行第列的元素為, 那么的第行第列</p><p>　　的元素為. 而的第行第列的元素為, 的第行第列的元素為 . 所以容易得到.<

34、;/p><p>　　特別地, 當時, 還有下面的證明方法.</p><p>　　證明 當時, , 由性質2.2得. 又由性質2.1可知, </p><p><b>　　, 而, 所以.</b></p><p>　　推論2.4 設、為階方陣, 則有.</p><p><b>　　證明 由

35、可知. </b></p><p>　　推論2.5 設為階方陣, 則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 用數(shù)學歸納法</p><p>　　當時, 已由性質2.8得證. </p><p>　　假設當時, 有成立,</p><p>

36、;<b>　　那么當時, 有</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以結論成立.</b></p><p>　　特別地, 分塊矩陣的轉置矩陣的伴隨矩陣也具有同樣的運算性質, 詳見推論2.6和推論2.7. </p><p>　　推論2.6

37、設有階可逆方陣及分塊矩陣, 則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 由為階方陣, 所以可逆且,</p><p>　　由對角陣的行列式的性質, 得. 又根據性質2.1, 得到</p><p><b>　　.</b></p><p><b&

38、gt;　　所以有成立.</b></p><p>　　推論2.7 設有階可逆方陣及分塊矩陣, 則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　四、矩陣逆的伴隨矩陣的運算矩陣</p><p>　　性質2.9 若為階可逆矩陣, 則有.</p><p>　　證明 根據性

39、質2.1有, </p><p><b>　　又因為</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　注 分塊矩陣的逆矩陣的伴隨

40、矩陣也具有同樣的運算性質, 詳見推論2.8和推論2.9.</p><p>　　推論2.8 設有階可逆矩陣及分塊矩陣, 則</p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　證明 由, 可知</b></p>

41、<p><b>　　.</b></p><p>　　推論2.9 設有階可逆矩陣及分塊矩陣, 則</p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質2.10 若是階可逆方陣, 則.</p>&l

42、t;p>　　證明 因為, 所以.</p><p><b>　　由性質2.1有</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　又由性質2.8有</b></p><p><b>　　, </b></p>&

43、lt;p><b>　　所以結論成立.</b></p><p>　　推論2.10 設有階可逆矩陣及分塊矩陣, </p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　推論2.11 設有階可逆矩陣及分塊矩陣, 則有</

44、p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.4 伴隨矩陣的繼承性</p><p>　　性質2.11[4] 若階方陣等價于, 則等價于.</p><p>　　證明 由于等價于, 則存在可逆矩陣, , 使得. 兩邊同時取伴隨矩陣可得, 那么有, 又因為矩陣, 可逆, 所以, 也可逆, 因此由矩陣等價的定義可

45、知, 也等價于.</p><p>　　性質2.12 若階可逆矩陣與合同, 那么與也合同.</p><p>　　證明 因為與合同, 所以存在可逆矩陣, 使得, 又因為與可逆, 將上式兩邊同時取逆得, 即. 令, 則, 故. 又由兩邊取行列式得, 所以, 即. 令, 則有, 所以與也合同.</p><p>　　性質2.13[11] 若階方陣與相似, 那么與也相似.

46、</p><p>　　證明 因為與相似, 所以存在可逆矩陣, 使得. 在上式兩邊同時取伴隨矩陣, 根據推論2.1得, 又由性質2.9得</p><p><b>　　. </b></p><p>　　令, 則有, 所以與也相似.</p><p>　　性質2.14 若矩陣與可交換, 那么 與也可交換.</p>

47、<p>　　證明 因為與可交換, 所以有, 又因為, 所以與也可交換.</p><p>　　性質2.15 若階方陣可逆, 則也可逆; 若不可逆, 則也不可逆. </p><p>　　證明 若可逆, 即, 由性質2.2得, 所以也可逆.</p><p>　　若不可逆, 即, 同理由性質2.2得, 所以也不可逆. </p><p&

48、gt;　　性質2.16 若矩陣對稱, 則也對稱. </p><p>　　證明 因為為對稱, 所以, 即中的每個元素, 繼而有. 所以, 即也對稱. </p><p>　　性質2.17 若為階可逆反對稱陣, 則當且僅當為偶數(shù)時也為反對稱陣.</p><p>　　證明 因為為階可逆反對稱陣, 所以, 又由性質2.9, 得</p><p>

49、<b>　　,</b></p><p>　　當為奇數(shù)時, 有, 即, 也是階對稱矩陣; </p><p>　　當是偶數(shù)時, 有, 即, 所以也是階反對稱矩陣.</p><p>　　性質2.18[12] 若矩陣可逆且可對角化, 則也可對角化. </p><p>　　證明 因為可逆且可對角化, 所以也可對角化, 因此存在

50、可逆陣, 使得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　其中是的所有特征值, 且由于可逆可知, 所以</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以可對角化.</b></p><p>　　性質2.19 若為

51、正交矩陣, 則也為正交矩陣.</p><p>　　證明 因為為正交矩陣, 所以, 又根據性質2.9和性質2.5有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以也為正交矩陣.</b></p><p>　　性質2.20 若是階正定矩陣, 則也是正定矩陣.</p>

52、;<p>　　證明 由于為正定矩陣, 則, 又由性質2.17可知為對稱矩陣, 且存在可逆陣, 使得, 等式兩邊同時取逆, 有, 又由, 有. 又由性質2.1得到, 即有</p><p><b>　　. </b></p><p>　　所以合同于單位矩陣, 即是正定矩陣.</p><p>　　性質2.21 若是階半正定矩陣, 則也

53、是階半正定矩陣.</p><p>　　證明 設為半正定矩陣, 則為對稱矩陣, 下面分三種情況</p><p>　?。?）若, 則為正定矩陣, 由性質2.20可知是正定矩陣; </p><p>　?。?）若, 則, 顯然是半正定矩陣; </p><p>　　（3）若, 根據性質2.3, 則. 由于為半正定矩陣, 所以的一階主子式必大于或等于0

54、, 且至少有一個大于0, 我們不妨設, 令</p><p><b>　　, </b></p><p>　　則可逆, 且有, 所以是半正定矩陣.</p><p>　　2.5 伴隨矩陣在特征值與特征向量方面的性質</p><p>　　性質2.22 設是階可逆矩陣的一個特征值, 是的屬于的特征向量, 則為的一個特征值, 且

55、是的屬于特征值的特征向量.</p><p>　　證明 由是可逆陣得, 那么, 在兩邊同時左乘, 可得, 即, 又由性質2.1得, 即有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以是的特征值, 是的屬于特征值的特征向量.</p><p>　　性質2.23 設是階可逆陣的所有非零特征值, 則<

56、/p><p><b>　　是的所有的特征值.</b></p><p>　　證明 由已知得, 等式兩邊同時左乘, 得. 由性質2.1得</p><p>　　. 所以有. 故此是的所有的特征值.</p><p>　　性質2.24[3] 設矩陣的所有特征值為, 則</p><p><b>　　

57、, , , </b></p><p><b>　　是的特征值.</b></p><p>　　證明 （1） 當為可逆陣時, 即, 則全不為零, , 且</p><p><b>　　, 于是</b></p><p><b>　　,</b></p><

58、;p>　　所以由矩陣特征值的定義可知是的特征值, 即, , , 是的特征值. </p><p>　?。?） 當不可逆時, 即.</p><p>　　若時, 則是的一重特征值, 取, 則全</p><p>　　不為, 因此下面只需要證明與是的特征值. 由可知, , 于是是的至少重特征值, 設的另一個特征值為, 則</p><p><

59、b>　　,</b></p><p><b>　　即與是的特征值.</b></p><p>　　若時, 則, 故的特征值全部為, 因為, 所以至</p><p>　　少是的二重特征值, 即中至少有兩個是, 所以, , , </p><p>　　必全部為, 即 , , , 是的特征值.</p>

60、<p>　　3 特殊矩陣的伴隨矩陣的性質</p><p>　　定義3.1[4] 若, 則稱為自伴隨矩陣. </p><p>　　定義3.2[13] 若, 則稱為冪等矩陣.</p><p>　　定義3.3 若, 則稱為冪幺矩陣.</p><p>　　定義3.4 若, 則稱為冪零矩陣.</p><p>

61、;　　定義3.5 若, 則稱為正規(guī)矩陣.</p><p>　　性質3.1 （1）若為自伴隨矩陣, 則也為自伴隨矩陣;</p><p>　　若為自伴隨矩陣, 則也為自伴隨矩陣.</p><p>　　證明 （1） 根據性質2.9有, 又因為為自伴隨矩陣, 所以. 因此有, 根據自伴隨矩陣的定義, 得也是自伴隨矩陣.</p><p>　?。?

62、） 根據性質2.8有, 又因為為自伴隨矩陣, 所以. 因此有, 根據自伴隨矩陣的定義, 得也是自伴隨矩陣.</p><p>　　性質3.2 若是冪等矩陣, 那么也是冪等矩陣. </p><p>　　證明 由是冪等矩陣, 即, 則有, 由推論2.1可以得到</p><p><b>　　, </b></p><p>　　

63、所以, 即也是冪等矩陣.</p><p>　　性質3.3 若是冪零矩陣, 那么也是冪零矩陣. </p><p>　　證明 因為是冪零矩陣, 即, 所以有, 所以也是</p><p><b>　　冪零矩陣.</b></p><p>　　性質3.4 若是冪幺矩陣, 那么當時, 也是冪幺矩陣.</p>&l

64、t;p>　　證明 若是冪幺矩陣, 即, 則</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即也是冪幺矩陣.</b></p><p>　　特別地, 當時, 有, 此時被稱為對合矩陣, 那么根據性質3.4可得也是對合矩陣.</p><p>　　性質3.5 若是正規(guī)矩陣,

65、則也是正規(guī)矩陣.</p><p>　　證明 設是正規(guī)矩陣, 則有, 又根據性質2.5得到,</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以也是正規(guī)矩陣.</b></p><p>　　性質3.6 若是下（上）三角矩陣, 則也是下（上）三角矩陣.</p>&l

66、t;p>　　證明 設是下三角矩陣, 則當時, 有. 當時, 的余子式為階的三角行列式, 且主對角線上的元素至少有一個為零, 所以, 即有, 所以也是下三角矩陣.</p><p>　　同理可證, 若是上三角矩陣, 則那么也是上三角矩陣.</p><p>　　性質3.7 整數(shù)矩陣的伴隨矩陣也是整數(shù)矩陣.</p><p>　　證明 由伴隨矩陣的定義和行列式的性

67、質即可得證.</p><p><b>　　4 伴隨矩陣的推廣</b></p><p>　　4.1 重伴隨矩陣的定義與性質</p><p>　　一、重伴隨矩陣的定義</p><p>　　定義4.1 若為階方陣, 則為的重伴隨矩陣, 記作</p><p><b>　　, .</b&

68、gt;</p><p>　　定理4.1 設為階可逆方陣, 則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 用數(shù)學歸納法證明. 下面只給出當, 時的證明.</p><p>　　10 當, 有, 將的二次伴隨矩陣記作, 由于, 則</p><p><b>　　,&

69、lt;/b></p><p>　　即有, 所以等式成立.</p><p>　　20 假設時, 等式成立, 即 .</p><p>　　30 那么當時, </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以等式成立.</b></p>

70、<p>　　綜上所述, 當, , 有.</p><p>　　同理可證, 當, , 有.</p><p>　　定理4.2 若為階不可逆方陣, 當時, .</p><p>　　證明 因為為不可逆方陣, 由性質2.3可得, 所以, 進</p><p>　　而可得, 所以, 故當時, .</p><p>　　二

71、、重伴隨矩陣的性質</p><p>　　性質4.1 設為階方陣, 則</p><p><b>　　（1）當時, </b></p><p><b>　?。?）當時, </b></p><p>　　證明 （1） 當時, 設, 則</p><p><b>　　, ,&

72、lt;/b></p><p><b>　　照以上方法得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此 </p><p>　?。?） 當時, 由性質2.3知,</p><p><b>　　所以</b>&

73、lt;/p><p><b>　　照以上方法得</b></p><p><b>　　結論得證.</b></p><p>　　性質4.2 設為階方陣, 則.</p><p>　　證明 （1）若, 由性質4.1知, 當時, , 則有.</p><p><b>　?。?）若

74、, 則</b></p><p><b>　　即當時, 有.</b></p><p>　　性質4.3 設為階可逆方陣, 則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 （1）當時, , 等式成立.</p><p><b>　　當時

75、, .</b></p><p>　　當時, .綜上所述, 當時, 有.</p><p>　　又由性質4.1知, </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以性質得證.</b></p><p>　　性質4.4 設為階方陣, 則<

76、/p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 由數(shù)學歸納法和性質2.8即可證得.</p><p>　　注 當時, 當且僅當可逆時才有這個結論.</p><p>　　上述是重伴隨矩陣的基本性質與運算性質, 下面來探討其較強的繼承性.</p><p>　　性質4.5 若是冪等陣,

77、則也是冪等陣.</p><p>　　證明 因為是冪等陣, 則有, 所以或.</p><p>　　若, 由性質4.1知, , 則.</p><p>　　若, 可逆, 則, 即, 所以, </p><p><b>　　結論得證.</b></p><p>　　性質4.6 若方陣是正定的, 則也是正定

78、的; 反之若是正定的, 為偶</p><p>　　數(shù), 且可逆, 則也是正定的.</p><p>　　證明 （1）若是正定的, 則, 且, 所以有. 因為, 又由, 正定, , 得正定. 同理可證, 正定, 以此類推, 正定.</p><p>　?。?）反之, 若正定, 有正定. 因為, 當為偶數(shù)時, 有為奇數(shù), 則. 由性質4.2知, 當時, , 正定, 所以為

79、正定陣. 同理可證, 當時, 也是正定陣.</p><p>　　由（1）（2）可得性質得證.</p><p>　　性質4.7 若是正交陣, 則是正交陣; 反之也成立.</p><p>　　證明 （1）因為是正交陣, 所以, 且或.</p><p>　　當時, 由性質4.5得, </p><p><b>　

80、　.</b></p><p>　　又根據性質4.3可得</p><p><b>　　,</b></p><p>　　綜上所述可得當時, , 有, 即為正交陣.</p><p><b>　　若, 當時,</b></p><p><b>　　,</b&

81、gt;</p><p>　　又由于, , 所以.</p><p>　　同理可證, 當時, 有. 所以, , , 有, 即為正交陣.</p><p>　　綜上所述, 若是正交陣, 則是正交陣.</p><p>　　反之, 若, 且或, 則由性質2.1 知</p><p><b>　　或.</b>&l

82、t;/p><p>　　又由性質4.5知, 當時, </p><p><b>　　, </b></p><p>　　得, 由 可得, 即.</p><p>　　同理可證, 當時, . 綜上所述, 當時, 有.</p><p>　　由（1）（2）可得性質成立.</p><p>　　

83、性質4.8 若階方陣是冪零矩陣, 則也是冪零矩陣.</p><p>　　證明 因為是冪零矩陣, 所以有, 那么或.</p><p><b>　　若, 則.</b></p><p>　　若, 由性質4.1知, </p><p><b>　　當時, , 則.</b></p><p

84、><b>　　當時, , 由.</b></p><p><b>　　所以, 當, 有.</b></p><p>　　性質4.9 若是對稱陣, 則也是對稱陣; 反之是對稱陣, 且是可逆的, </p><p><b>　　則是對稱陣.</b></p><p>　　證明 根

85、據性質2.1及定理4.1即可證得.</p><p>　　性質4.10 若是反對稱陣, 則當為奇數(shù)時, 為對稱陣; 當為偶數(shù)時, 為反對稱陣.</p><p>　　證明 同樣根據性質2.1及定理4.1即可證得.</p><p>　　4.2 矩陣的伴隨矩陣的定義與性質</p><p>　　一、矩陣的伴隨矩陣的定義</p>&l

86、t;p>　　定義4.2[15] 設, 則稱</p><p>　　是的伴隨矩陣, 其中是行列式的的代數(shù)余子行（列）式.</p><p>　　二、矩陣的伴隨矩陣的性質</p><p>　　性質4.11 設是矩陣, 則有</p><p><b>　　證明 當時, 由</b></p><p>

87、<b>　　可得 .</b></p><p><b>　　當時, 同樣的有</b></p><p><b>　　由此可得.</b></p><p>　　性質4.12 設為矩陣, 則有.</p><p>　　證明 設, 那么, 又根據伴隨矩陣的定義有, 且, 而, 所以.&l

88、t;/p><p>　　性質4.13 對任意的矩陣都有, 其中.</p><p>　　根據可逆矩陣的性質及性質4.11即可得證. </p><p>　　性質4.14 若是矩陣, 且, 則是滿秩的.</p><p>　　證明 設是矩陣, 不妨令, 因為等于的所有階子式的和, 又由于, 所以至少有一個不為零的階子式, 又由于是矩陣, 所以.<

89、;/p><p>　　由性質4.11, 得, 而是矩陣, 所以是可逆的.</p><p>　　注 條件不可換成是滿秩, 這點與方陣不同.</p><p><b>　　5 伴隨矩陣的應用</b></p><p>　　例5.1 設, , 求.</p><p>　　解 由可得, 于是有</p>

90、;<p><b>　　,</b></p><p>　　則有, 于是得到, 的伴隨矩陣為</p><p><b>　　, </b></p><p>　　所以根據性質2.1有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例5.2

91、 設4階方陣滿足條件, 及, 求的伴隨矩陣</p><p><b>　　的一個特征值.</b></p><p>　　分析 根據性質2.22, 當是可逆矩陣的一個特征值時, 伴隨矩陣的一個特征值為. 可見本題關鍵是要求出的一個特征值與.</p><p>　　解 設, 即有. 所以為的一個特征值.由, 兩邊取行列式得. 因, 所以 所以由性質

92、2.22得, 的一個特征值為.</p><p>　　例5.3[15] 試求出滿足的一切階方陣.</p><p>　　分析 此題主要是運用性質2.3進行分類討論.</p><p>　　解 若時, , 當然有. </p><p>　　若時, 則, 即, 此時.</p><p><b>　　若, 則.<

93、/b></p><p><b>　　當時, 顯然.</b></p><p>　　當時, 設, 則, 不可能有. 因為假設, 則有, 且. 于是, 這與矛盾. 故此.</p><p>　　若, 則, 于是由性質2.1得, 當且僅當.</p><p>　　綜上可得, 滿足的方陣是: 零方陣及適合的可逆方陣.</p

94、><p>　　例5.4 設、、均為3階可逆矩陣, 且, , , , , , 求.</p><p>　　分析 本題只要運用分塊矩陣的伴隨矩陣的運算性質就能輕而易舉地得到結果.</p><p>　　解 根據推論2.3得</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　例5.5 若,

95、求.</p><p>　　分析 此題看似較為復雜, 但是根據性質4.2, 此題就迎刃而解.</p><p>　　解 由已知易得, 根據性質4.2, 即有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　6 小結</b></p><p>　　伴隨矩陣是矩

96、陣理論及線性代數(shù)中的一個基本概念, 它具有不容忽視的重要地位. 其性質的內容豐富多彩, 應用也相當廣泛. 伴隨矩陣的推廣更使伴隨矩陣如虎添翼.</p><p>　　基于伴隨矩陣性質的重要性, 本課題先在伴隨矩陣的定義和基本性質的基礎上, 詳細歸納討論了伴隨矩陣的運算性質、在特征值和特征向量方面的性質及伴隨矩陣在等價、相似、合同、對稱、正交、正定等性質方面對原矩陣的繼承性; 然后探討了如上（下）三角矩陣、自伴隨矩陣

97、、對角矩陣、冪等矩陣等一些特殊矩陣的伴隨矩陣的性質并給出詳細的證明, 并將伴隨矩陣作了兩方面的推廣, 給出了重伴隨矩陣的定義及其相關的性質和矩陣的伴隨矩陣的定義及其若干性質, 使伴隨矩陣的性質更具有科學性、系統(tǒng)性. 最后通過舉例說明了伴隨矩陣的性質在線性代數(shù)解題中的重要應用.</p><p>　　由于本人能力有限, 在作本課題時還存在很多不足, 比如, 所舉的例子不夠全面, 不能體現(xiàn)它在其他領域中的重要性. 希望

98、在以后的學習中在這方面能有所突破.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge University Press, 1986. </p><p>　　蔡建樂. 用特征矩陣的伴隨矩陣求解慣量主軸方向[J]. 大學

99、物理, 1995, 14(9): 21~22.</p><p>　　楊聞起. 伴隨矩陣的性質[J]. 寶雞文理學院學報, 2004, (3): 20~25.</p><p>　　王航平. 伴隨矩陣的若干性質[J]. 中國計量學院學報, 2004, 15(3): 247~249. </p><p>　　鄭茂玉. 伴隨矩陣的性質[J]. 南方冶金學院學報, 1991,

100、12(3): 55~60.</p><p>　　徐淳寧. 關于伴隨矩陣的推廣[J]. 長春郵電學院學報, 1997, 15(4): 63~64.</p><p>　　賈美娥. 關于矩陣的伴隨矩陣[J]. 赤峰學院學報, 2009, 25(9): 16~17.</p><p>　　北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)小組編. 高等代數(shù)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.

101、 9.</p><p>　　韓成茂. 伴隨矩陣性質研究[D]. 山東: 山東大學, 2008.</p><p>　　劉佑林. 伴隨矩陣若干性質[J]. 湘南學院學報, 2009, 30(5): 31~32.</p><p>　　肖翔, 許伯生. 伴隨矩陣的性質[J]. 上海工程技術大學教育研究, 2007, (3): 48~49.</p><p&

102、gt;　　呂興漢. 關于伴隨矩陣性質的進一步討論[J]. 2006, 22: 322~323.</p><p>　　徐宏武. 冪等矩陣的性質及應用[J]. 宜春學院學報, 2004, 26(6): 22. </p><p>　　C. M. Han. Some operation properities of Adjoint Matrices for Block Matrices[J]. J