凸集的性質(zhì)及其應(yīng)用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p><b>　　凸集的性質(zhì)及其應(yīng)用</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān)業(yè)班級(jí)

2、 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱(chēng) </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：本文首先介紹了凸集理論的研究

3、背景和意義，然后給出了一般線(xiàn)性空間下凸集的定義及幾個(gè)定義等價(jià)性的充要條件，探討了凸集的Minkowski泛函的性質(zhì)和一些幾何性質(zhì)，并給出了這些性質(zhì)的詳細(xì)證明， 同時(shí)利用凸集的性質(zhì)和相關(guān)理論證明了常微分方程初值問(wèn)題解的存在性定理． 除此之外，我們還結(jié)合一些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，探討了凸集理論在數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題上的應(yīng)用． </p><p>　　關(guān)鍵詞：凸集；泛函分析；線(xiàn)性空間；常微分方程</p><p&

4、gt;　　The Properties and Applications of Convex Sets</p><p>　　Abstract: In this paper, we introduce the research rackground and meaning of convex set theory．Meanwhile, we summarize the equivalent relations of

5、 several definitions for convex sets in the linear space, and discusses their minkowski functional and geometric properties, as well as the detail proof of these properties. Furthermore, by using the properties of convex

6、 set and correlation theory, we proof the existence theorem of solutions of initial value problem in ordinary differential equations. </p><p>　　Keywords: convex set；functional analysis；linear space；ordinary

7、differential equation</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 緒論1</b></p><p>　　1．1 凸集的背景1</p><p>　　1．2 凸集的意義2</p><p>　　2 凸集的定義4<

8、;/p><p>　　2．1 凸集的一般定義4</p><p>　　2．2　凸集定義的幾個(gè)等價(jià)性充要條件5</p><p>　　3 凸集的性質(zhì)7</p><p>　　3．1 一般線(xiàn)性空間下Minkowski泛函的性質(zhì)7</p><p>　　3．2 線(xiàn)性賦范空間下的結(jié)論8</p><p&g

9、t;　　3．3 凸集的一些幾何性質(zhì)10</p><p>　　4 凸集理論的相關(guān)應(yīng)用12</p><p>　　4．1 Brouwer與Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理12</p><p>　　4．2 利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明常微分方程初值問(wèn)題解的存在性定理14</p><p>　　4．3 凸集在平面幾何中的應(yīng)用15</p>

10、<p><b>　　結(jié)束語(yǔ)17</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)18</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1．1 凸集的背景</p><p&g

11、t;　　凸集的產(chǎn)生與分析學(xué)有著密切的聯(lián)系.分析學(xué)包括微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、微分幾何、函數(shù)論、積分方程、變分法、泛函分析等數(shù)學(xué)分支，這些學(xué)科的總稱(chēng)也常常叫做數(shù)學(xué)分析，有時(shí)被用作是微積分的同義語(yǔ).可以說(shuō)，17世紀(jì)到19世紀(jì)上半葉的數(shù)學(xué)史，幾乎就是數(shù)學(xué)分析的歷史.17世紀(jì)由牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分，為數(shù)學(xué)的研究提供了強(qiáng)有力的工具，此后的大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的注意力，都被這有著無(wú)限發(fā)展前途的學(xué)科所吸引，開(kāi)始謀求用微積分這一有力的工具去解決愈來(lái)愈多的物理

12、問(wèn)題，但他們很快發(fā)現(xiàn)不得不去對(duì)付一類(lèi)新的更復(fù)雜的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題不能通過(guò)簡(jiǎn)單的積分解決，要解決這類(lèi)問(wèn)題需要專(zhuān)門(mén)的技術(shù)，這樣，微分方程這門(mén)學(xué)科就應(yīng)運(yùn)而生了.作為對(duì)一門(mén)新的數(shù)學(xué)分支的探索，伯努利家族的貢獻(xiàn)尤為突出.在1691年到1692年之間他們先后解決了懸掛著的變密度非彈性軟繩、等厚度的彈性繩以及在每一點(diǎn)上的作用力都指向一個(gè)固定中心的細(xì)繩所成形狀的問(wèn)題.在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，他們總結(jié)出了解微分方程的變量分離法，還提出了著名的伯努利方程&l

13、t;/p><p><b>　　.</b></p><p>　　到了18世紀(jì)，歐拉在前人的基礎(chǔ)上做了大量的工作，從而使微分方程形成自身獨(dú)特的理論體系.之后法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾將其方法加以整理，給出了求非其次線(xiàn)性微分方程的通解的一般方法；另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日則又得出了通過(guò)變易常數(shù)求變系數(shù)常微分方程特解的方法，這些方法都是現(xiàn)今求微分方程的有效方法.18世紀(jì)后期不斷出現(xiàn)的特殊的

14、微分方程的求解問(wèn)題，使數(shù)學(xué)家逐漸招架不住了，于是轉(zhuǎn)向?qū)獾拇嬖谛詥?wèn)題的思考，即給定一個(gè)微分方程，它在給定的初始條件和邊界條件下是否有解？在這個(gè)過(guò)程中，許多著名的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家開(kāi)展了大量的研究工作，如柯西、利普西茨、皮卡、施圖姆、劉維爾等人.特別是法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊使微分方程與函數(shù)論建立了密切的聯(lián)系，從而產(chǎn)生了微分方程的解析理論.雖然18世紀(jì)數(shù)學(xué)分析的發(fā)展已經(jīng)達(dá)到空前燦爛的程度，然而數(shù)學(xué)家們?cè)谶\(yùn)用微積分方法的過(guò)程中并沒(méi)能使無(wú)窮小這一概念的本

15、質(zhì)得到澄清，這就導(dǎo)致了微積分學(xué)理論缺乏嚴(yán)密的理論基礎(chǔ).進(jìn)入19世紀(jì)，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾、法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西、德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯等人為完善分析學(xué)的基礎(chǔ)理論做出了卓越的貢獻(xiàn).</p><p>　　凸性理論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃，對(duì)策論，數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)和最優(yōu)控制理論等學(xué)科發(fā)展的需要，特別是在優(yōu)化領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)了凸集的許多應(yīng)用之后，凸集理論日益受到人們的重視.20世紀(jì)60年代以后發(fā)展迅速，凸集的概念通過(guò)不同的途徑被推廣，

16、提出了吸收凸集、對(duì)稱(chēng)凸集、嚴(yán)格凸集、一致凸集、強(qiáng)凸集等概念. 一般線(xiàn)性空間中的凸集概念是從平面凸集的特征性質(zhì)中抽象出來(lái)的，而這個(gè)性質(zhì)并不要求空間具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，所以這個(gè)概念可以擴(kuò)充到一般的線(xiàn)性空間.本文主要討論的就是一般線(xiàn)性空間中的凸集.</p><p>　　1．2 凸集的意義</p><p>　　凸集在近代數(shù)學(xué)中占有極重要的地位，本文主要討論的是一般線(xiàn)性空間中的凸集.本文給出了凸集的幾個(gè)

17、等價(jià)命題和他們之間的推導(dǎo)，及凸集的有關(guān)性質(zhì)和它在分析中的一些相關(guān)應(yīng)用. 凸集的產(chǎn)生與分析學(xué)有著密切的聯(lián)系，而數(shù)學(xué)分析理論的建立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展. 利用凸集的定義及其基本性質(zhì)，能使一些過(guò)去較為復(fù)雜的平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較容易簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而得到巧妙簡(jiǎn)捷的解決．一門(mén)科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī)，它必定是經(jīng)過(guò)多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的．凸集理論也是這樣．直到二十世紀(jì)六十年代中期，由于數(shù)學(xué)

18、規(guī)劃、對(duì)策論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、變分學(xué)、最優(yōu)控制理論等多方面的需要，誕生了一門(mén)新的數(shù)學(xué)分支——凸分析.這一分支由于基本內(nèi)容相當(dāng)初等，而應(yīng)用又十分廣泛，因此許多結(jié)果很快就成為廣大數(shù)學(xué)工作者手中的有力工具.凸分析的基本研究對(duì)象是凸集和凸函數(shù)，基本工具是凸集分離定理.在很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析與證明中，我們都需要用到凸集．凸集有許多等價(jià)的定義和性質(zhì)，這些定義和性質(zhì)在分析學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．不僅如此，在很多的科學(xué)領(lǐng)域中，凸集理論也能得到很好的應(yīng)用.<

19、/p><p>　　已有文獻(xiàn)就凸集的定義及性質(zhì)的相關(guān)理論的研究已經(jīng)取得了較為豐富的結(jié)果（詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1-10]）；其中文獻(xiàn)[1-3]給出了凸集的定義、性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上介紹了它在一些方面的應(yīng)用，文獻(xiàn)[4] 主要討論了具有非空內(nèi)部的緊凸集與其重心之間的關(guān)系，并進(jìn)而給出了緊凸集的廣義重心以及關(guān)于函數(shù)的重心與緊凸集的關(guān)系，文獻(xiàn)[5] 給出了一個(gè)閉集是凸集的幾個(gè)等價(jià)充分條件，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了證明，文獻(xiàn)[6] 給出了線(xiàn)性空間中凸集的六

20、個(gè)等價(jià)形式，并在一定的約束條件下給出了凸集的兩個(gè)充要條件，文獻(xiàn)[7] 討論了線(xiàn)性拓?fù)淇臻g中的凸集和它的端點(diǎn)集之間的關(guān)系，給出了局部凸空間一個(gè)凸集為嚴(yán)格凸集的充要條件，文獻(xiàn)[8] 借助可分空間的共軛空間中有界閉球的弱星序列緊性，證明了在無(wú)窮維數(shù)列空間中有限個(gè)閉球之并的凸包仍為閉集，文獻(xiàn)[9] 討論了凸集的性質(zhì)、凸集與李普希茲函數(shù)類(lèi)、凸函數(shù)間的關(guān)系，給出了凸集在賦范線(xiàn)性空間、希爾伯特空間最佳逼近中的應(yīng)用，文獻(xiàn)[10]介紹了凸集理論在平面幾何

21、中的一些應(yīng)用. 本文將在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究總結(jié)凸集的定義以及等價(jià)定義、性質(zhì)以及應(yīng)用，借以加深對(duì)數(shù)學(xué)分析、泛函分析函數(shù)等所學(xué)課程內(nèi)容的理解，培養(yǎng)自己的</p><p>　　按照傳統(tǒng)的、經(jīng)典的說(shuō)法，數(shù)學(xué)是研究“現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式”的科學(xué)，或者簡(jiǎn)略地說(shuō)，是研究數(shù)和形的科學(xué).然而到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的時(shí)代，已經(jīng)很難區(qū)分哪些屬于數(shù)的范疇，哪些屬于形的范疇.凸集與凸函數(shù)有著很好的性質(zhì)，我們考慮微分方程時(shí)，考慮

22、的集值映射其像集一般情況下是緊凸集，因此弄清楚凸集的一些性質(zhì)對(duì)我們分析問(wèn)題很重要.通過(guò)借助可分空間的共軛空間中有界閉球的弱星序列緊性，可以證明在無(wú)窮維數(shù)列空間中有限個(gè)閉球之并的凸包仍為閉集.</p><p><b>　　2 凸集的定義</b></p><p>　　2．1 凸集的一般定義</p><p>　　一般線(xiàn)性空間中的凸集概念是從平面凸

23、集的特征性質(zhì)中抽象出來(lái)的.這性質(zhì)是：若是一個(gè)平面凸集，則對(duì)于中任意兩點(diǎn),,聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)的線(xiàn)段也在內(nèi)，即</p><p><b>　?。ǎ?</b></p><p>　　將這個(gè)概念擴(kuò)充到一般線(xiàn)性空間后就是</p><p>　　定義1 設(shè)是線(xiàn)性空間，，稱(chēng)為一凸集，如果</p><p><b>　　（）.</b

24、></p><p>　　由凸集的定義我們可以得到下面的命題：</p><p>　　命題1 若是線(xiàn)性空間中的一族凸集，則也是凸集.</p><p>　　證明 對(duì)，有，由于是線(xiàn)性空間中的一族凸集，則根據(jù)定義1，</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　

25、　所以</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　從而由定義1知，也是凸集.</p><p>　　下面我們引進(jìn)凸包和凸組合的概念.</p><p>　　定義2 設(shè)是線(xiàn)性空間，.若為中包含的一切凸集，那么稱(chēng)為的凸包，并記作.又對(duì)，若,，則稱(chēng)為的凸組合.</p>&l

26、t;p>　　命題2 設(shè)是線(xiàn)性空間，,那么的凸包是中元素任意凸組合的全體.即</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　證明 令表示（1）式的右端，則,，有</p><p><b>　　, 其中</b></p><p>　　即. 又，有,,其中,.則</p>

27、;<p><b>　　.</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　所以是凸集.從而</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　反之，設(shè)為包含的任一凸集，那么，,有,即得.又，且由命

28、題1知為凸集，故.從而（1）式成立.</p><p>　　2．2　凸集定義的幾個(gè)等價(jià)性充要條件</p><p>　　命題3 是線(xiàn)性空間到線(xiàn)性空間的線(xiàn)性算子，且為單射，則是中凸集的充分必要條件是為中的凸集.</p><p>　　證明 必要性 ,,則,使得,,由為凸集有,又為線(xiàn)性算子，則</p><p><b>　　故為中的凸集.&

29、lt;/b></p><p>　　充分性 ，,則，令,由為中的凸集有</p><p><b>　　,</b></p><p>　　又為單射，故，所以為凸集.</p><p>　　推論1 是線(xiàn)性空間中的凸集的充分必要條件是為凸集.</p><p>　　證明 作線(xiàn)性空間到的映射.則是到的線(xiàn)性

30、算子，且為單射，，由命題3即得.</p><p>　　命題4 是線(xiàn)性空間一含有的凸集的充分必要條件是，，，有.</p><p>　　證明 充分性 ，取，，則，有</p><p><b>　　故是凸集.</b></p><p>　　必要性 ，，當(dāng)或1時(shí)，顯然有.</p><p>　　當(dāng)時(shí)，記，則

31、，由為一含有的凸集知，，從而.</p><p><b>　　3 凸集的性質(zhì)</b></p><p>　　3．1 一般線(xiàn)性空間下Minkowski泛函的性質(zhì)</p><p>　　為了討論凸集的性質(zhì)，我們先引入一個(gè)如下的概念.</p><p>　　定義3 設(shè)是線(xiàn)性空間，是上含有的凸子集，在上規(guī)定一個(gè)取值于的函數(shù)<

32、/p><p>　　與對(duì)應(yīng)，稱(chēng)函數(shù)為的Minkowski泛函.</p><p>　　命題5 設(shè)是線(xiàn)性空間，是上含有的凸子集，若為的Minkowski泛函，則具有下列性質(zhì)：</p><p><b>　?。?），；</b></p><p>　?。?）（，）（正齊次性）；</p><p>　?。?）（）（次

33、可加性）.</p><p>　　證明 （1）顯然.</p><p><b>　?。?）由，則</b></p><p>　?。?）不妨設(shè)，有窮，對(duì)，取，，則有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因?yàn)槭峭沟模?lt;/b>&

34、lt;/p><p><b>　　這表明</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由的任意性得到（3）.</p><p>　　3．2 線(xiàn)性賦范空間下的結(jié)論</p><p>　　何時(shí)是真正的函數(shù)，即不取∞？又何時(shí)正齊次性成為齊次性？為了回答這些問(wèn)題，我們

35、引進(jìn)如下概念.</p><p>　　定義4 線(xiàn)性空間中，是含有的凸集，如果，，使得，稱(chēng)是吸收的；如果，稱(chēng)是對(duì)稱(chēng)的.</p><p><b>　　根據(jù)定義4顯然有</b></p><p>　　命題6 是吸收凸集，當(dāng)且僅當(dāng)其Minkowski泛函是實(shí)值函數(shù)；要使是對(duì)稱(chēng)凸集，必須是實(shí)齊次的，即</p><p>　　對(duì)于線(xiàn)性

36、賦范空間，我們有更強(qiáng)的結(jié)果：</p><p>　　命題7 設(shè)是一個(gè)空間，是一個(gè)含有點(diǎn)的閉凸集.如果是的Minkowski泛函，那么下半連續(xù)，且有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　此外，如果還是有界的，那么滿(mǎn)足</p><p><b>　　.</b></p>

37、<p>　　又若以為一內(nèi)點(diǎn)，那么是吸收的，并且還是一致連續(xù)的.</p><p>　　證明 （1），若，即，由的定義便有；反之，若，則對(duì)有</p><p><b>　　，（當(dāng)），</b></p><p>　　又因?yàn)槭情]的，所以，故，這就證得</p><p><b>　?。ǎ?</b>&l

38、t;/p><p>　　特別地，令即得.又因?yàn)椋情]集，所以是下半連續(xù)的.</p><p>　?。?）因?yàn)?，所以是顯然的.在有界假定下，即，使得，于是</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　由此可見(jiàn)當(dāng)時(shí)，.</b></p><p>　　（3）若以為內(nèi)點(diǎn)

39、，即，使得，那么</p><p><b>　?。ǎ?</b></p><p>　　因此是吸收的，并且有（）.于是</p><p><b>　　（），</b></p><p><b>　　從而是一致連續(xù)的.</b></p><p>　　命題8 若是中的一

40、個(gè)緊凸子集，則必存在正整數(shù)，使得同胚于中的單位球.</p><p>　　證明 用表示包含的最小閉線(xiàn)性子流形.設(shè)其維數(shù)是.于是在上必有個(gè)向量,使得是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.</p><p>　　令 .</p><p>　　因?yàn)?，所以是一個(gè)維線(xiàn)性子空間.于是對(duì)，存在唯一的表示</p><p>　　,

41、 （2）</p><p>　　并在上課引進(jìn)一個(gè)等價(jià)模</p><p>　　. （3）</p><p>　　我們要證：當(dāng)（3）式所表示的足夠小時(shí)，蘊(yùn)含（2）所表示的.事實(shí)上，因?yàn)?lt;/p><p><b>　　. （4）</b></p&

42、gt;<p>　　當(dāng)足夠小時(shí)，（4）右端各項(xiàng)系數(shù)都是正的，并且各項(xiàng)系數(shù)的總和</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以.</b></p><p>　　在上，是一個(gè)以為內(nèi)點(diǎn)的有界閉凸集，它的Minkowski泛函是在上的一個(gè)一致連續(xù)、正齊次、次可加泛函，適合.則存在，使得<

43、/p><p><b>　　.</b></p><p>　　設(shè)是中的單位球，若令</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　則是一個(gè)在上同胚.</b></p><p>　　3．3 凸集的一些幾何性質(zhì)</p><p

44、>　　這里我們引進(jìn)均衡集的概念.</p><p>　　定義5 設(shè)為線(xiàn)性空間的一個(gè)子集，如果對(duì)每個(gè)，都有</p><p><b>　　,</b></p><p>　?。ㄟ@里），則稱(chēng)為均衡集；若既是凸的又是均衡的，則稱(chēng)是絕對(duì)凸的.</p><p>　　命題9 任意多個(gè)均衡集的交、并仍是均衡的.</p>

45、<p>　　證明 設(shè)都是均衡的.</p><p>　?。?）令，對(duì)每個(gè)，，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由的均衡性，對(duì)每個(gè)，有，從而有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因此是均衡的.

46、</b></p><p>　　（2）令，對(duì)每個(gè)，，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由的均衡性，對(duì)每個(gè)，有，從而有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因此是均衡的.</b><

47、;/p><p>　　推論2 任意多個(gè)絕對(duì)凸集的交仍為絕對(duì)凸的.</p><p>　　證明 因?yàn)槿我舛鄠€(gè)凸集的交仍為凸集，再根據(jù)命題9立得推論結(jié)論為真.</p><p>　　定義6 設(shè)為線(xiàn)性拓?fù)淇臻g的凸子集，，如果存在的某領(lǐng)域，則稱(chēng)為的內(nèi)點(diǎn)，的內(nèi)點(diǎn)全體稱(chēng)為的內(nèi)域，記為；如果的任何領(lǐng)域中既含有異于的中之點(diǎn)，又含有中之點(diǎn)，則稱(chēng)為的邊界點(diǎn)，的邊界點(diǎn)全體稱(chēng)為的邊界，記為，稱(chēng)

48、為的自邊界，記為.</p><p>　　由此不難看出，并且.</p><p>　　命題10 設(shè)為線(xiàn)性拓?fù)淇臻g的凸子集，則是凸的.</p><p>　　證明 任取，由定義6，存在鄰域與，使</p><p><b>　　，.</b></p><p>　　任取，，則，，由于是凸的，故對(duì)于任何，<

49、;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　.</b></p&

50、gt;<p>　　取，顯然是的領(lǐng)域，并且</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由此可知，因此是凸的.</p><p>　　4 凸集理論的相關(guān)應(yīng)用</p><p>　　4．1 Brouwer與Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理</p><p>　　在拓?fù)鋵W(xué)中有一個(gè)重

51、要的屬于Brouwer的不動(dòng)點(diǎn)定理，引用如下：</p><p>　　定理1（Brouwer）設(shè)是中的閉單位球，又設(shè)是一個(gè)連續(xù)映射，那么必有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).</p><p>　　聯(lián)合命題8與定理1，有</p><p>　　命題11 設(shè)是中的一個(gè)緊凸子集，是連續(xù)的，則必有一個(gè)在上的不動(dòng)點(diǎn).</p><p>　　證明 由于與中的一個(gè)單位球同胚，記此

52、同胚為.考察映射</p><p>　　顯然.對(duì)應(yīng)用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，存在使得.由此得到是的不動(dòng)點(diǎn).</p><p>　　現(xiàn)在我們把有窮維空間的不動(dòng)點(diǎn)定理推廣到無(wú)窮維空間中去.</p><p>　　定理2（Schauder） 設(shè)是空間中的一個(gè)閉凸子集，連續(xù)且列緊，則在上必有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).</p><p>　　證明 因?yàn)槭橇芯o集，所以對(duì)

53、,存在網(wǎng)，即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　記，即為由張成的有窮維線(xiàn)性子空間.</p><p><b>　　作的映射如下：</b></p><p>　　, （5）</p><p><b>　　其

54、中</b></p><p><b>　　， .</b></p><p><b>　　因?yàn)?，并且，，使?lt;/b></p><p><b>　　，于是,</b></p><p>　　所以.因此，有定義并滿(mǎn)足</p><p>　　， .

55、 （6）</p><p>　　于是在上有定義，并且（5）與（6）蘊(yùn)含是元素的凸組合，從而.此外還有</p><p><b>　　,</b></p><p>　　注意到，，而是凸的，所以.令，那么.</p><p>　　又注意到是中的一個(gè)有界閉凸子集，應(yīng)用命題11，，使得</p&g

56、t;<p>　　, （7）</p><p>　　又因?yàn)槭橇芯o集而是閉集，所以存在子列及使得</p><p>　　. （8）</p><p>　　聯(lián)合（6）與（7）得到</p><p>　　.

57、 （9）</p><p>　　聯(lián)合（8）與（9）即得，再利用的連續(xù)性和（8）即得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　附注1 這個(gè)定理的證明有好多個(gè), 除了代數(shù)拓?fù)涞淖C明以外，還有幾個(gè)初等的、純分析的證明，例如參看[11].</p><p>　　4．2 利用不

58、動(dòng)點(diǎn)定理證明常微分方程初值問(wèn)題解的存在性定理</p><p><b>　　先給出如下定義.</b></p><p>　　定義7 設(shè)是空間，是的一個(gè)子集，映射，稱(chēng)它是緊的，如果它是連續(xù)的并且映中的任意有界集為中的列緊集.</p><p>　　命題12 設(shè)為空間中的一個(gè)有界閉凸子集，是緊的，則在上必有不動(dòng)點(diǎn).</p><p&

59、gt;　　考察常微分方程初值問(wèn)題解的存在性定理.現(xiàn)在只假設(shè)函數(shù)</p><p><b>　　,</b></p><p>　　在上連續(xù)（從而有常數(shù)，使得）.</p><p>　　考察中的球上的映射：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　我們來(lái)證明：對(duì)足夠

60、小的，映到自身，并且是緊的.事實(shí)上</p><p><b>　　.</b></p><p>　　故當(dāng)時(shí)，映到自身.又因?yàn)?lt;/p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以連續(xù)，并根據(jù)Arzela-Ascoli定理，在映射下的象是列緊的.應(yīng)用定理2（Schauder），立得</p

61、><p>　　定理3（Caratheodory） 假設(shè)函數(shù)在上二元連續(xù)，，那么當(dāng)時(shí)，方程的初值問(wèn)題</p><p><b>　　在上存在解.</b></p><p>　　附注2 這樣，利用不動(dòng)點(diǎn)定理我們可以得到常微分方程初值問(wèn)題解的存在性定理.不僅如此，凸集在討論最佳逼近存在唯一性中起到重要作用.</p><p>　　4．

62、3 凸集在平面幾何中的應(yīng)用</p><p>　　對(duì)歐氏空間來(lái)說(shuō)，如果對(duì)于點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)，，線(xiàn)段上的每一點(diǎn)都屬于，那么就稱(chēng)為凸集.直觀(guān)上，凸集就是凸的.在一維空間中，凸集是單點(diǎn)或一條不間斷的線(xiàn)（包括直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段）；二、三維空間中的凸集就是直觀(guān)上凸的圖形.容易證明：兩個(gè)凸集的交一定是凸集，而兩個(gè)凸集的并不一定是凸集. </p><p>　　例1 設(shè)是緊夾在平行線(xiàn)與之間的任一凸形，其邊界

63、與和都有公共點(diǎn).平行于的直線(xiàn)將分為如圖所示的，兩部分，且與和之間的距離分別為和.</p><p>　?。?）為怎樣的圖形時(shí)，，兩部分的面積之比達(dá)到最大？并說(shuō)明理由.</p><p>　?。?）試求的最大值.</p><p>　　證明 設(shè)是與的交點(diǎn)之一，與的交集必為一線(xiàn)段，不妨設(shè)為.欲使達(dá)到最大，應(yīng)盡量大，應(yīng)盡量小.</p><p>　　連接

64、，與交于，兩點(diǎn)，可以證明含于梯形之中（假設(shè)不然，存在中的點(diǎn)在梯形之外，連接，它與交于點(diǎn)，顯然在線(xiàn)段之外，矛盾）.故.</p><p><b>　　.</b></p><p>　　即的最大值為，此時(shí)為一邊在上，令一頂點(diǎn)在上的三角形.</p><p>　　如果直線(xiàn)與凸形相交，且的某一側(cè)不含中的任何點(diǎn)，則稱(chēng)為的一條支撐線(xiàn).考察支撐線(xiàn)是處理凸形問(wèn)題的一

65、種有效方法.</p><p>　　例2 設(shè)是平面上的凸形，除了包含外不包含任何格點(diǎn).又設(shè)分布在四個(gè)象限的面積相等.試證：的面積4.</p><p>　　證明 我們只須證明在某象限的面積不大于1即可.除原點(diǎn)不含任何格點(diǎn)，而據(jù)原點(diǎn)最近的格點(diǎn)為：，，和.</p><p>　　顯然，過(guò)點(diǎn)我們可以作的一條支撐線(xiàn)或，使得在其左側(cè).</p><p>　

66、　若，則支撐線(xiàn)與坐標(biāo)軸在第一象限組成的三角形的面積不大于1；若，則支撐線(xiàn)與坐標(biāo)軸在第四象限組成的三角形的面積不大于1，在第四象限的面積不大于1.故不妨設(shè)支撐線(xiàn)為或.</p><p>　　對(duì)于過(guò)其他三點(diǎn)的支撐線(xiàn)，可做類(lèi)似的假設(shè).這樣，四條支撐線(xiàn)圍成一個(gè)四邊形，其頂點(diǎn)分布于四個(gè)象限之中，包含于四邊形里面.不妨假設(shè)，則可證明四邊形在第一象限的面積不大于1，即在第一象限的面積不大于1.從而的面積4.</p>

67、<p>　　在平面幾何中，凸集也可以簡(jiǎn)單的看成直觀(guān)上凸的圖形.熟練掌握、靈活應(yīng)用凸集的定義及其基本性質(zhì)，能使一些相關(guān)的問(wèn)題得到巧妙簡(jiǎn)捷的解決.</p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　本文主要是對(duì)泛函分析中一類(lèi)特殊的集合——凸集的研究，本文首先簡(jiǎn)要介紹了凸集的背景和意義，然后介紹了一般線(xiàn)性空間下凸集的定義，同時(shí)給出了它的兩個(gè)等價(jià)充要

68、條件及其證明過(guò)程.繼而文章探討了凸集的一些常用性質(zhì)，主要討論了一般線(xiàn)性空間下Minkowski泛函的性質(zhì)和線(xiàn)性賦范空間下的一些結(jié)論.在文章的最后，本文簡(jiǎn)略的介紹了凸集的一些應(yīng)用，特別是利用不動(dòng)點(diǎn)定理及相關(guān)理論得到了常微分方程初值問(wèn)題解的存在性定理.從上面的研究中我們可以體會(huì)到凸集在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和生活中的應(yīng)用，在今后的學(xué)習(xí)和工作中我將更好地加強(qiáng)凸集的相關(guān)理論的研究和學(xué)習(xí)，去解決數(shù)學(xué)中的一些相關(guān)問(wèn)題。</p><p>&

69、lt;b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 張恭慶，林源渠．泛函分析講義(上冊(cè))[M]．北京：北京大學(xué)出版社，1987．</p><p>　　[2] Jean-Baptiste Hiriart-Urruty Claude Lemaréchal.Fundamentals Of Convex Analysis[M].Beijing:Springer,

70、2004.</p><p>　　[3] R.TYRRELL ROCKAFELLAR.Convex Analysis[M].Princeton university press,1970.</p><p>　　[4] 唐風(fēng)軍，劉廣彥，李曉楠．關(guān)于凸集的一些性質(zhì)[J]．信息工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，7（1）：25-27．</p><p>　　[5] 羅能．關(guān)于閉集是凸集的

71、幾個(gè)等價(jià)充分條件[J]．南昌高專(zhuān)學(xué)報(bào)，1999，（3）：19-21．</p><p>　　[6] 查志明．凸集的若干等價(jià)命題[J]．黃山學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，6（3）：10-11．</p><p>　　[7] 張治田．凸集的幾個(gè)性質(zhì)[J]．自然科學(xué)報(bào)，1986，（4）：34-45．</p><p>　　[8] 劉世偉．凸集的若干幾何性質(zhì)[J]．華中師院學(xué)報(bào)，1984，

72、（3）：31-34．</p><p>　　[9] 馬英源．凸集及在分析中的應(yīng)用[J]．通化師范學(xué)院（自然科學(xué)），1996，（4）：7-11．</p><p>　　[10] 李寶毅．凸集的性質(zhì)及其應(yīng)用[J]．中等數(shù)學(xué)，1993，（1）：4-6．</p><p>　　[11] J.Milnor,Analytic proofs of the”hairy ball theo