有限群子群的正規(guī)性及其對偶.pdf

1、長期以來，研究子群的某種正規(guī)性與有限群的結構的關系一直是有限群論重要的課題之一。人們不僅給出了各種各樣的廣義正規(guī)性的概念，而且獲得了大量的研究成果，為有限群理論的發(fā)展起到了強有力的推動作用．在這些眾多的廣義正規(guī)性的概念中，c-正規(guī)與覆蓋遠離性的研究非?；钴S。然而這兩個重要概念之間并沒有必然聯(lián)系。最近，樊惲，郭秀云與K.P.Shum等人提出了所謂的半覆蓋遠離性的概念．他們的研究表明：半覆蓋遠離性既涵蓋了覆蓋遠離性，也涵蓋了c-正規(guī)性，從而

2、半覆蓋遠離性是這兩個概念的統(tǒng)一推廣。本文前面一部分繼續(xù)這方面的工作，研究某些子群的半覆蓋遠離性與有限群結構的關系。一方面，我們研究了極大子君群、2-極大子群的半覆蓋遠離性與群的可解性之間的相互作用關系，得出一系列有限群可解的充要條件。這些工作的新穎之處就是從各個不同角度，極力用盡可能少的極大子群來刻劃有限群的可解性。許多已知的結果被推廣。另一方面，我們研究了Sylow-子群的某些特殊子群的半覆蓋遠離性對有限群結構的影響，給出了一些有限群

3、為p-冪零和超可解的充分條件。部分結果被推廣到群系上去。 作為上述思想的對偶，還嘗試研究了冪自同構群對有限群結構的影響。研究群的自同構群與群的結構的關系是十分重要但又非常困難的問題。而研究冪自同構群對群結構的影響目前國內(nèi)外還不多見。我們首先對群的Norm進行了細致深入的研究，為進一步的工作奠定了基礎．所謂群 G 的Norm N(G)是G中誘導G的冪自同構的全體元素構成的 G 的一個特征子群。第四章運用Norm推廣了著名的Ito和

4、Burnside關于p-冪零的定理。第五章則以群作用為工具，克服了p-群分類的困難，給出了幾類具有較大階的冪自同構群的有限群的分類．為此，首先對不同的素數(shù)P，g，確定了滿足條件|G：N(G)|=P或p q的有限群的結構。然后在此基礎上綜合運用多方面的知識，進一步給出了滿足條件|Aut(G)：Paut(G)|=1，P或Pq的有限群的完全分類，其中Aut(G)是群G的自同構群，Paut(G)是G的冪自同構群，P，q仍是不同的素數(shù)。特別地，我

5、們證明了若群G滿足|Aut(G)：Paut(G)|=Pq，P，q是不同的素數(shù)，則Aut(G)/Paut(G)?S<,3>這一饒有趣味的結果．作為本文的重要組成部分，第六章應用所獲得的有關Norm的性質(zhì)，通過換位子的運算技巧，確定了一類較Dedekind群類更廣泛的群—N-群類的結構。稱群G是N-群，若對任意的x ∈G，總有(x)≤G或x∈N(G)．研究N-群是基于以下考慮：一方面，群G是Dedekind群當且僅當對任意的x ∈G，有(x