樹的鉤長公式及其q擴展.pdf

1、鉤長是組合結構中最重要的指標之一，鉤長公式在代數(shù)組合學中占據(jù)著重要的地位．眾所周知，對稱群不可約表示λ對應的維數(shù)正好就是形狀為λ的標準楊表的個數(shù).早在1954年，F(xiàn)rame，Robinson和Thrall用楊表鉤長乘積計數(shù)了標準楊表的個數(shù)，即著名的鉤長公式．Frame-Robinson-Thrall鉤長公式已經用代數(shù)，組合，概率等方法得到很多經典證明，此外，Knuth給出了類似的鉤長公式用以計數(shù)給定結構的遞增二叉樹的個數(shù)，Bjorner

2、和Wachs推導出森林鉤長公式的q模擬形式，鉤長公式整齊的形式和深刻的組合意義，使得鉤長公式在組合學各個領域得到了深入的研究。
　　 最近，Postnikov在研究置換多面體組合性質的時候發(fā)現(xiàn)了一個具有新穎形式的二叉樹鉤長公式．學者們已經得到了Postnikov鉤長公式的各種證明方法和眾多推廣形式．對文獻中各種鉤長公式仔細研究之后，韓國牛發(fā)現(xiàn)了一種獲得鉤長公式的展開技術．通過這個方法，可以重新推導出Nekrasov-Okounk

3、ov公式，該公式是歐拉乘積冪對于分拆鉤長的展開形式．歐拉乘積冪研究的核心就是探索不同冪的展開形式，應用展開技術還可以得到很多關于分拆，二叉樹，完全二叉樹以及斐波那契樹的各種鉤長公式，包括文獻中很多鉤長公式的統(tǒng)一形式．韓國牛提出了很多簡潔漂亮的鉤長公式，并要求給出其組合證明．此外韓國牛提出的有關鉤長公式的猜想也引起了很多研究者的興趣。
　　 本文重點研究各種類型樹上的鉤長公式以及若干q擴展．本文主要推廣了韓國牛的展開技術，在k叉樹

4、，平面樹和平面森林，有根樹和森林的結構上得到了很多鉤長公式．作為一些特例，我們也得到了很多文獻中已經出現(xiàn)過的鉤長公式．本文還得到了一些簡單漂亮的鉤長公式，Thomas和Eriksen分別給出了一些組合解釋，本文引入了k叉樹的一種梯形標號結構，該結構可以準確刻畫韓國牛提出的二叉樹上的兩個鉤長公式，并給出組合證明，解決了他提出的兩個問題，此外本文還重點研究了符號森林鉤長公式的q擴展問題，我們通過研究符號森林的逆序數(shù)，flag major和r