黎曼曲面周期映射的幾何.pdf

1、設X是一個虧格為g(≥1)的緊致黎曼曲面，則其Jacobian是一個g維復環(huán)面，甚至是一個由theta除子θx所極化的阿貝爾簇。通過這種方式，我們對每一個緊致黎曼曲面X定義了一個偶對(g(X),θx)。我們稱這個對應為Albanese映射。記虧格為g的緊致黎曼曲面的黎曼模空間為Mg，g維主極化阿貝爾簇的粗糙?？臻g為Ag。那么，上面定義的Albanese映射誘導了一個從Mg到Ag的映射J，我們稱它為?？臻gMg上的周期映射。它把每一個黎曼面

2、的同構等價類[X]映射為Ag中的主極化阿貝爾簇的同構等價類[(g(X)，θx)]。在本篇論文中，我們將主要研究與該周期映射J相關的?？臻gMg上的微分幾何。本研究主要內(nèi)容如下：
　　 第一章回顧了黎曼曲面的一些基本概念，給出了黎曼曲面的定義以及它們基本的拓撲和幾何性質。接著，我們敘述了黎曼．羅赫定理。并用它計算了不同全純微分形式組成的向量空間的維數(shù)。本章最后，我們在黎曼曲面上定義了Bergman度量并且給出了它的曲率性質。

3、　　 第二章首先定義了虧格為g的緊致黎曼曲面的Teichmuller空間Tg和黎曼?？臻gMg。然后，仔細分析了虧格為1的情形。緊接著，我們通過擬共形映射理論構造出了Tg上的全純局部坐標-Bers坐標一從而得到了它上面的標準復結構。這些局部坐標將在第四章的周期映射J的冪級數(shù)展開中用到。在最后一節(jié)，我們分別解釋了Teichmiiller空間Tg上的周期映射Ⅱ和黎曼模空間Mg上的周期映射J。
　　 第三章介紹復結構的形變理論，特別是

4、黎曼曲面的Kodaira-Spencer理論。這為研究周期映射J的局部特征提供了理論基礎。
　　 第四章是本文的主要內(nèi)容和結果。首先，我們詳細回顧了Ag上的一些基礎幾何知識。作為局部對稱簇的Ag具有一個正規(guī)的緊致化Ag。而且，Ag具有嚴格負的全純截面曲率。這個雙曲性質某種程度上蘊涵著周期映射J的彎曲性。在第二節(jié)里，我們利用文[42]中全純的微分形式的形變構造給出了J的完全展開。作為應用，我們在第三節(jié)研究了Mg上Siegel幾何的