離散非線性薛定諤方程的非平凡孤立子的存在性和多重性.pdf

1、在這篇文章中，我們將首先討論下面這個(gè)周期離散非線性薛定諤方程的離散孤立子：
　　 iψn=-△ψn+εnψn-γxnfn(ψn)，n∈Z，其中這里
　　 △ψn=ψn+a+ψn-1-2ψn是一維空間中的離散的拉普拉斯算子，γ=±1，fn(s)=｜s｜2s或者fn(s)=｜s｜2s/1+cns2，s∈R。這里給出的數(shù)列{εn}，{cn}和{xn]是以N為周期的數(shù)列(N是一個(gè)正整數(shù))，即對(duì)所有的n∈Z有：εn+N=εn，cn

2、+N=cn且xn+N=xn?？紤]到孤立子的定義，ψn有這樣的形式：
　　 ψn=une-iωt，這里{un}是一個(gè)實(shí)值的數(shù)列，并且ω∈R是時(shí)間頻率，那么我們得到下面的方程：
　　 一△un+εnun-ωun=γxnfn(un)，n∈Z。
　　 事實(shí)上，我們將考慮一個(gè)更為一般的周期離散非線性薛定諤方程：
　　 Lun-ωun=γxngn(un)，n∈Z，(DNLS1)其中g(shù)n是一個(gè)函數(shù)列，算子L是一個(gè)Jac

3、obi算子[61]，并且它的定義如下：
　　 Lun=anun+1+an-1un-1+bnun。在這里，{an}和(6n)是以N為周期的實(shí)值數(shù)列，即對(duì)所有的n∈Z有：an+N=an且bn+N=bn。
　　 如果an=-1且bn=2+εn，那么方程(DNLS1)就變成了下面這個(gè)方程-△un+εnun-ωun=γxngn(un)，n∈Z.(DNLS2)
　　 對(duì)于方程(DNLS2)而言，如果離散勢(shì)V={εn}是非周期

4、的，且γ=1，我們將討論下面這個(gè)非周期的離散非線性薛定諤方程：
　　 一△un+εnun-ωun=gn(un)，n∈Z，(DNLS3)其中這里的gn關(guān)于n∈Z是非周期的。
　　 在我們的文章里面，我們假設(shè)ω屬于算子L的一個(gè)有限的譜間隔，或者ω是這個(gè)算子的一個(gè)譜端點(diǎn)。如果gn是漸進(jìn)線性或者超線性的時(shí)候，我們利用不同的方法得到了離散非線性薛定諤方程的非平凡孤立子的存在性和多重性，其中這篇文章里面的方法有變化推廣的弱linki

5、ng定理，不定的變分問(wèn)題向確定的問(wèn)題的一個(gè)直接和簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化，以及變化的噴泉定理。值得注意的是，當(dāng)ω屬于算子L的一個(gè)有限的譜間隔的時(shí)候，我們不僅解決了由Pankov(2006Nonlinearity1927-40)提出的一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題，而且我們還得到了關(guān)于周期離散非線性薛定諤方程(DNLS1)的非平凡孤立子存在性的一個(gè)充分必要條件。對(duì)于周期離散非線性薛定諤方程(DNLS1)，當(dāng)｜s｜→∞，gn(s)是超線性或者漸進(jìn)線性的時(shí)候，如果gn(s)

6、關(guān)于s∈R是奇函數(shù)，那么我們得到了無(wú)窮多個(gè)幾何不同的解。對(duì)于非周期的離散非線性薛定諤方程(DNLS3)，如果gn(s)關(guān)于s∈R是奇函數(shù)，并且gn(s)關(guān)于s在無(wú)窮遠(yuǎn)處是超線性的，那么我們利用鄒文明的一個(gè)變化的噴泉定理得到了這個(gè)方程的無(wú)窮多個(gè)非平凡的孤立子。
　　 總而言之，這篇文章的寫(xiě)作布局如下：
　　 在第一章里面，我們將先介紹關(guān)于離散非線性薛定諤方程的一些背景知識(shí)，以及最近的研究動(dòng)態(tài)。
　　 在第二章里面，

7、我們假設(shè)ω屬于算子L的一個(gè)有限的譜間隔，或者ω是算子L的一個(gè)譜端點(diǎn)，我們將研究周期離散非線性薛定諤方程(DNLS1)的非平凡孤立子的存在性，在這一章中，我們利用的方法是來(lái)源于Schechter和鄒文明的應(yīng)用于強(qiáng)不定問(wèn)題的變化推廣的弱linking定理。值得注意的是，我們不僅解決了由Pankov(2006 Nonlinearity1927-40)提出的一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題，而且我們還得到了關(guān)于周期離散非線性薛定諤方程(DNLS1)的非平凡孤立子存

8、在性的一個(gè)充分必要條件。
　　 在第三章里面，我們假設(shè)ω屬于算子L的一個(gè)有限的譜間隔，對(duì)于周期離散非線性薛定諤方程(DNLS1)，其中方程的非線性項(xiàng)是超線性或者漸進(jìn)線性的，如果gn(s)關(guān)于s∈R是奇的，那么我們得到了無(wú)窮多個(gè)幾何不同的解，這一章利用的方法是不定的變分問(wèn)題向確定的問(wèn)題的一個(gè)直接和簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化。
　　 在第四章里面，我們將利用Jeanjean的一個(gè)變化的噴泉定理來(lái)研究周期離散非線性薛定諤方程(DNLS2)的非