非線性最優(yōu)控制問題混合有限元方法.pdf

1、最優(yōu)控制問題在很多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用,因此研究最優(yōu)控制問題的數(shù)值求解具有十分重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值,由于大量最優(yōu)控制問題計(jì)算規(guī)模巨大,對(duì)求解速度要求很高,因此提高最優(yōu)控制問題的計(jì)算效率是急需解決的重要問題,在現(xiàn)有的很多文獻(xiàn)中,主要采用的是標(biāo)準(zhǔn)有限元來研究這些最優(yōu)控制問題,然而對(duì)于某些特定的問題，混合有限元有著不可替代的優(yōu)勢(shì)，本文中，將研究幾類非線性最優(yōu)控制問題混合有限元解的先驗(yàn)和后驗(yàn)誤差估計(jì)。
　　本文可分為兩部分.第一部分,

2、研究了非線性橢圓最優(yōu)控制問題,首先利用變分原理得到非線性橢圓最優(yōu)控制問題的最優(yōu)性條件,即將一個(gè)求解泛函極小的問題轉(zhuǎn)化成狀態(tài)方程、伴隨狀態(tài)方程和一個(gè)變分不等式三者的聯(lián)立系統(tǒng);利用最低階Raviart-Thomas混合有限元逼近狀態(tài)變量、分片常數(shù)函數(shù)逼近控制變量,建立了非線性最優(yōu)控制問題的混合有限元離散格式.采用F.A.Miliner和E. J.Park等人提出的線性化方法(Taylor展開的積分形式)處理誤差方程的非線性項(xiàng),并利用橢圓方程

3、混合有限元解的先驗(yàn)誤差估計(jì)結(jié)果,得到了非線性最優(yōu)控制問題混合有限元解的L2先驗(yàn)誤差估計(jì),進(jìn)一步,通過引入一種加權(quán)的L2范數(shù)和對(duì)偶論證方法,獲得了非線性最優(yōu)控制問題混合有限元解最大模范數(shù)的誤差估計(jì).接著,基于Helmoholtz分解和Bubble函數(shù)等思想,并結(jié)合一些非線性誤差方程線性化的技巧和一些輔助非線性方程的先驗(yàn)誤差估計(jì),得到了非線性橢圓最優(yōu)控制問題混合有限元解的后驗(yàn)誤差估計(jì)。最后,給出一些數(shù)值算例來驗(yàn)證得到的理論結(jié)果,
　　

4、第二部分,研究了非線性拋物最優(yōu)控制問題,對(duì)于拋物方程的混合有限元逼近解的誤差估計(jì),Sonia M.F.Garcia等人已經(jīng)進(jìn)行了一些研究,但很少有文獻(xiàn)研究拋物最優(yōu)控制問題,尤其是非線性問題.首先,引入一種橢圓混合元投影算子和一些相應(yīng)的先驗(yàn)誤差估計(jì),構(gòu)造一些中間變量和相應(yīng)的誤差方程,并結(jié)合L2投影算子和幾種其它投影算子的性質(zhì),得到非線性拋物最優(yōu)控制問題混合有限元解的先驗(yàn)誤差估計(jì),接著,利用一些輔助拋物問題的穩(wěn)定性結(jié)論,結(jié)合Gronwall