幾類高階非線性拋物方程解的存在性與漸近性.pdf

1、本文主要研究幾類高階非線性拋物方程(組)解的存在性和長時間漸近行為.本質(zhì)性困難是作為通常工具所使用的二階拋物方程的最大值原理和比較原理在高階情形不再有效.所討論的問題包括廣義薄膜方程解的長時間性態(tài)，具有梯度項主部的非線性四階拋物方程解的存在性和長時間漸近極限，以及粘性量子流體動力學(xué)模型解、粘性流體動力學(xué)模型解的指數(shù)衰減性，首先考慮一個具有零邊界流的非線性四階拋物方程—廣義薄膜方程.利用熵泛函的方法證明了解在時間趨于無窮大時趨近于對應(yīng)的定

2、態(tài)問題解的結(jié)論，并討論了帶二階擴散項的薄膜方程解的存在性和正性.然后關(guān)注一類具三階退化項的四階拋物方程解的存在性與漸近極限.最后研究粘性雙極量子流體動力學(xué)模型，粘性項對能量耗散速率的影響是：耗散隨粘性增大而增大。 第1章概述本文所研究問題的物理背景和國內(nèi)外發(fā)展?fàn)顩r，并簡要介紹本文的主要工作。 第2章首先關(guān)注一類四階拋物型方程：ut=-▽·(un▽△u+αun-1△u▽u+βun-2|▽u|2▽u)解的長時間行為.此方程可

3、以理解為薄膜方程ut+(unuxxx)x=0的推廣.方程由潤滑近似法推導(dǎo)而來，描述粘性薄膜的演化及蔓延傳播情況，函數(shù)u表示薄膜的高度.對于Neumann初邊值問題，我們分別得到一維問題解在L∞范數(shù)意義下以代數(shù)速率衰減到其初值的均值，高維問題解在L1范數(shù)意義下以指數(shù)衰減速率收斂到其初值的均值.主要技術(shù)思想是構(gòu)造相應(yīng)的熵泛函，對熵進行兩方面的運算，一是建立熵泛函微分的(與熵有關(guān)的)負(fù)上界，二是證明熵泛函具有Lp范數(shù)的下界(0

4、獲得L范數(shù)意義下的長時間衰減結(jié)果.其次，我們研究一類帶二階擴散項的薄膜方程ut+(unuxxx)x-(um)xx=0的非負(fù)解.當(dāng)m>n時，得到弱意義下解的存在性，以及參數(shù)n的值對解的正性的影響.最后證明，問題的古典解在t→∞時，以指數(shù)速率收斂于其初值的均值。 第3章致力于一類非線性四階拋物方程ut+▽·(|▽△u|p-2▽△u)=f(u)第一初邊值問題解的存在性和漸近極限的研究.通過不動點理論結(jié)合半離散方法，分別得到定態(tài)情形和發(fā)

5、展方程解的存在性.與一般以往文章方法不同之處是：我們構(gòu)造兩類不同的逼近解，分別處理關(guān)于時間變量和空間變量的一致估計，再由必要的先驗估計和緊性討論進一步證明這兩類逼近解收斂于同一個函數(shù).也就是所求問題的解.另外，利用熵泛函方法還得到解在時間趨于無窮大時，收斂于其一個常定態(tài)解的結(jié)論.最后，我們指出當(dāng)參數(shù)p→∞時，解u恰好趨于初值函數(shù)u0。 第4章考慮粘性量子流體動力學(xué)模型解的長時間行為.共振穿隧等量子效應(yīng)可由微觀模型表示，例如Wig