非線性波動與復雜網(wǎng)絡(luò)的研究.pdf

1、本論文包括兩個部分：第一部分是非線性偏微分方程的解析求解；第二部分是復雜網(wǎng)絡(luò)的研究討論。 非線性方程主要描述非線性現(xiàn)象和復雜系統(tǒng)問題，方程的解對理解非線性相互作用和復雜系統(tǒng)的行為有著重要的幫助。由于非線性方程的解空間非常復雜，沒有統(tǒng)一的非線性方程求解方法和理論，迫使人們發(fā)展了許多方法求解非線性方程的特解。 在本文的第一部分中，我們主要討論兩種求解非線性方程的方法：齊次平衡法和Jacobi橢圓函數(shù)展開法(也稱F-展開法)。

2、首先，簡單地介紹齊次平衡法求解過程及以VariantBoussinesq方程為例很容易地求得方程的孤波解。我們主要研究擬解函數(shù)ψ=ψ(x，t)是其它特殊形式的解，可以求得非線性方程的多孤波解、周期解、有理函數(shù)解、虛函數(shù)解、奇異解和自相似解等。同時，在求解過程中可以得到方程的Backlund非線性變換。在第二種方法中，首先簡要地介紹了橢圓函數(shù)的基本展開法和運用，我們在此基礎(chǔ)上對橢圓函數(shù)展開法進行了幾種新的推廣。第一種推廣為，將方程解的展開

3、式擴展到負指數(shù)，可以求得方程的負指數(shù)的橢圓函數(shù)解。這種推廣所求出的解包括了基本的橢圓函數(shù)展開法所求出的解。第二種推廣為，將方程解的展開式擴展有包含分數(shù)指數(shù)形式(1+δf2(ξ))2的橢圓函數(shù)解，可以求得方程的分數(shù)指數(shù)形式的解。第三種和第四種推廣為，直接將兩種不同橢圓函數(shù)耦合形式來展開求方程的解，這樣所求出方程的解包括了兩種橢圓函數(shù)的耦合形式。通過這幾種推廣的橢圓函數(shù)展開法，我們求得非線性方程的很多新解。 自然界和人類社會中有著許

4、多非常復雜相互作用的系統(tǒng)，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、新陳代謝、Internet網(wǎng)、交通網(wǎng)絡(luò)、人際關(guān)系等。任何一個有著相互作用的復雜系統(tǒng)，都可以抽象為一個復雜網(wǎng)絡(luò)。 在本文的第二部分中，首先，介紹復雜性的來源和復雜網(wǎng)絡(luò)的一些基本概念，和幾種常見的復雜網(wǎng)絡(luò)模型。其次，我們主要用復雜網(wǎng)絡(luò)手段來描述中國鐵路客運系統(tǒng)。我們把中國鐵路客運系統(tǒng)抽象為一個復雜網(wǎng)絡(luò)：以站點作為“節(jié)點”，任意兩個站點間只要有同一列車在這兩個站點?？?，認為這兩個站點間存在連線，

5、按這種抽象方式生成的網(wǎng)絡(luò)稱為車流網(wǎng)。研究發(fā)現(xiàn)車流網(wǎng)為具有ScaleFree網(wǎng)絡(luò)的特征和小世界網(wǎng)絡(luò)的特性，認為該網(wǎng)絡(luò)為具有無標度性質(zhì)的小世界網(wǎng)絡(luò)。這是對BA網(wǎng)絡(luò)生長模型的很好的實際例證。復雜網(wǎng)絡(luò)上的動力學問題是當前研究的重要課題，它對我們認識復雜網(wǎng)絡(luò)的相互作用及其復雜行為及對網(wǎng)絡(luò)拓撲性質(zhì)的依賴關(guān)系有著十分重要的意義。最后，我們簡單地探討在含地理權(quán)重的嵌入無標度網(wǎng)絡(luò)(WeightedLatticeEmbeddedScale-Free(WLE