時間依賴偏微分方程的區(qū)域分解并行算法.pdf

1、山東大學博士學位論文時間依賴偏微分方程的區(qū)域分解并行算法姓名：田敏申請學位級別：博士專業(yè)：計算數(shù)學指導教師：羊丹平20070415S h a n d o n g U n i v e r s i t yD o c t o r a l D i s s e r t a t i o n展，已成為一種有效的迭代方法。橢圓型方程有限元方法已經建立了系統(tǒng)的的理論分析【1 9 ，2 0 ，2 3 ] ；L i o n s [ 2 1 ，2 2 】對熱傳

2、導方程提出了的一類建立在兩個子區(qū)域基礎上的S c h w a r z 交替算法，給出了收斂性結果，但沒有給出誤差估計；X ．C ．C a l 【2 4 ' 2 5 】構建了一類加性S c h w a r z 算法和乘性S c h w a r z 算法，并證明了算法的收斂性，但作者沒有詳細討論收斂率對離散參數(shù)的依賴性；H ．R u ia n dD ．P ．Y a n g [ 2 6 - 3 4 ] 論證了在每一時間層上收斂性及誤差

3、估計對子區(qū)域長度、空間網格步長、時間步長和迭代次數(shù)的依賴性。經典的S c h w a r z 交替法不是并行的，隨著并行計算的發(fā)展，出現(xiàn)了多種可完全并行化的加性S c h w a r z 算法。M ．D r y j a ，0 ．B ．W i l d u n d ，T ．M ．S h i h等【3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 ，3 8 J 皆獨立提出不同的算法，這些算法可克服交替方法的串行性，更利于并行處理。J ．X u [ a 9 ，

4、4 0 l 系統(tǒng)地介紹了求解對稱正定問題的各種迭代方法，主要是利用區(qū)域分解和子區(qū)域校正法從理論上建立了并行子區(qū)域校正和串行子區(qū)域校正這兩類算法。f 4 1 1 將此方法應用于拋物型方程有限元方法，并得到了收斂階0 ( 巧m ) ，其中0 < 6 < 1 。非重疊型區(qū)域分解法將計算區(qū)域分解成若干個獨立的不同子區(qū)域，具有高度并行、網格剖分靈活和易于計算等優(yōu)點。對于此方法，內邊界上的預處理算子是必須要考慮的。一般需要附加三種形式的

5、內邊界條件：解的連續(xù)性條件( D D ) 、流量的連續(xù)性條件( N N ) 和混合條件( D N ) 。G e o r g e ，D r y j a ，S m i t h 等在這方面做了很多工作。但各子問題內邊界條件需要通過迭代處理，計算比較復雜。在許多實際計算中，由于對時間步長穩(wěn)定性的要求，發(fā)展方程的計算通常采用隱格式，但隱式格式難以直接在并行機上實施。顯式差分格式盡管易于實施，但它的穩(wěn)定性條件苛刻。當計算問題的規(guī)模相當大，例如需要具

6、有數(shù)千甚至上萬臺處理器的大型并行計算機進行計算時，數(shù)據(jù)的強相關與全局通訊等問題就會成為制約實現(xiàn)高性能計算的突出瓶頸問題。因此，改造現(xiàn)有的隱式格式，研究適用于大型并行計算機上的并行計算方法是目前大型科學工程計算中迫切需要解決的具有挑戰(zhàn)性的問題。C ．N ．D a w s o n ，Q ．D u ＆T ．F ．D u p o n t 等【8 ，4 5 ，4 6 ，4 7 ，鎬】提出了一類顯／隱非重疊區(qū)域分裂格式，在內邊界上采用大步長顯格式，

7、各子域內采用隱格式。顯隱結合無需迭代計算，得到最優(yōu)的l ∞模誤差估計，但內邊界格式的顯性仍然引入了一定的穩(wěn)定性條件( 丁≤H 2 ) ?！? 1 】、[ 5 2 ] 提出了一類具有界面修正的并行差分算法，并給出了算法的存在唯一性，無條件穩(wěn)定性和w ；’1 模誤差估計。Y ．L ．Z h o u ，L ．J ．S h e n ＆G ．W ．Y u a n 【4 9 ，5 0 】對非線性和擬線性拋物組提出了一類具有并行本性的有限差分方法，給