環(huán)的凝聚性和模的某些包絡與覆蓋.pdf

1、相對同調代數是同調代數中的一個新興的研究領域。(預)包絡與(預)覆蓋是相對同調理論的基石，在代數表示論中也有重要的應用。就其與環(huán)論的關系而言，至少可以分為兩個方面。一方面，可以用某些(預)包絡與(預)覆蓋的存在性來刻畫環(huán)。例如：凝聚環(huán)可以用平坦預包的存在性來刻畫。另一方面，在某些特定的環(huán)上研究模的(預)包絡與(預)覆蓋可以得到更加豐富，更加完美的結果。例如在Artin環(huán)，Noether環(huán)乃至更廣的凝聚環(huán)上，人們都已經建立起日臻完善的相對

2、同調理論。 本課題圍繞環(huán)的兩類相對凝聚性和模的某些(預)包絡與(預)覆蓋展開研究。 本文先引入(α,β)-凝聚環(huán)的概念，從而將P-凝聚環(huán)，偽凝聚環(huán)，凝聚環(huán)，以及Ⅱ-凝聚環(huán)的概念統一到同一個框架之下。給出了左(α,β)-凝聚環(huán)的若干等價刻畫，包括內部刻畫和外部刻畫，推廣了有關凝聚環(huán)和Ⅱ-凝聚環(huán)的結論。例如，本文證明了環(huán)R是左(α,β)-凝聚的當且僅當每個右R-模都有(α,β)-平坦預包。這里所引入的(α,β)-平坦模的概念

3、將無撓模，擬無撓模，n-平坦模，平坦模，n-投射模，以及有限投射模等概念統一到同一個框架之下。 在環(huán)的M-凝聚性方面，本文利用一個反例說明即使每個左R-模都是M-平坦的，R也未必是M-凝聚的，從而解決Dauns J的—個問題。這個例子同時表明M-凝聚性與(α,β)-凝聚性之間存在顯著的差異，關于凝聚環(huán)和Ⅱ-凝聚環(huán)的一些等價條件“翻譯”到M-凝聚環(huán)的情形所得到的條件未必還是等價的。鑒于這個原因，本文把這些條件進行分組，并證明每一組

4、內的那幾個條件是等價的。例如，對于固定的右R-模M，本文證明了：(1)每個左R-模都有M-平坦預包的充分必要條件是M-平坦模的直積還是M-平坦的。(2)<,R>R的任意直積是M-平坦的充分必要條件是每個投射右R-模的對偶都是M-平坦的。 注意到同調代數中的三大模類：投射模、內射模和平坦模分別對應著Morita理論中的投射生成子、內射余生成子和完全忠實平坦模。而代數表示論中的傾斜模和余傾斜?？梢苑謩e看成投射生成子和內射余生成子的推

5、廣。本文自然地引入了Tot-傾斜模的概念，作為完全忠實平坦模的推廣，并證明了：(1)傾斜模都是Tor-傾斜的。(2)U<,R>是Tot-傾斜的當且僅當其示性模U<'+>=Hom<,z>(U,Q/Z)是余傾斜的。(3)每一個Tor-傾斜的U<,R>都確定了左R-模范疇中的一個撓理論(Ker(U <,R>，-)，KerTor<'R><,1>(U,-))。從而每個左R-模都有一個單的Ker(U R，-)-覆蓋和—個滿的KerTor<'R><,