絕熱近似理論在量子計(jì)算中的應(yīng)用研究.pdf

1、絕熱量子計(jì)算是一種等價(jià)于量子線圈模型的新興模型。它在計(jì)算效率上與量子線圈模型多項(xiàng)式等價(jià)，并且因其內(nèi)稟的抗噪聲性可能更容易在真實(shí)的量子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)。絕熱量子算法基于量子系統(tǒng)的絕熱演化過程，即通過在量子系統(tǒng)上執(zhí)行一個(gè)緩慢改變的含時(shí)哈密頓量將系統(tǒng)的狀態(tài)從初始哈密頓量的基態(tài)變換成最終哈密頓量的基態(tài)，從而達(dá)到解決問題的目的。絕熱定理要求的緩慢程度通常由絕熱條件刻畫，該條件與含時(shí)哈密頓量的基態(tài)和激發(fā)態(tài)之間的能隙直接相關(guān)。在絕熱量子計(jì)算中，能隙扮演著十

2、分重要的角色。絕熱算法的適用性，即存在一個(gè)有限的運(yùn)行時(shí)間，完全依賴于非零能隙的存在性，與此同時(shí)，絕熱算法的有效性，即運(yùn)行時(shí)間的長短，取決于非零能隙的大小。
　　然而，對(duì)于絕熱量子計(jì)算中使用的哈密頓量，對(duì)能隙的估算往往是十分困難的。因此，研究者不得不求助于數(shù)值計(jì)算來估算絕熱算法的運(yùn)行時(shí)間。但是，通過數(shù)值計(jì)算來判斷絕熱算法的適用性和有效性的方法受到了取樣數(shù)目和問題尺度的雙重限制。迄今，適用性問題和有效性問題均沒有得到有效的解決。

3、>　　本論文研究絕熱量子計(jì)算的適用性和有效性問題，主要?jiǎng)?chuàng)新結(jié)果如下:
　　1)研究了絕熱量子計(jì)算的適用性問題，給出了含時(shí)哈密頓量的非零能隙的存在性定理。該定理是非零能隙存在性的充分條件，它僅要求適當(dāng)?shù)倪x擇初始哈密頓量就可以充分保證含時(shí)哈密頓量的基態(tài)和激發(fā)態(tài)之間始終存在非零能隙。它可以十分有效的鑒別出一大類基態(tài)與激發(fā)態(tài)之間具有非零能隙的哈密頓量。作為定理的應(yīng)用示例，我們使用它檢查了以往工作中使用的哈密頓量，結(jié)果顯示以往工作中所有的哈

4、密頓量都屬于定理鑒別出的這類哈密頓量。因目前還沒有有效辦法判斷何種哈密頓量始終具有非零能隙，即可用于絕熱量子計(jì)算，該存在性定理在設(shè)計(jì)用于絕熱量子計(jì)算的哈密頓量方面可以起到一定的幫助。
　　2)研究了絕熱量子計(jì)算的有效性問題，發(fā)現(xiàn)了能隙的可計(jì)算性與哈密頓量的對(duì)稱性之間的關(guān)聯(lián)。我們將絕熱量子計(jì)算中使用的哈密頓量的對(duì)稱性分為三種，即局部對(duì)稱性、全局對(duì)稱性和連續(xù)對(duì)稱性，然后舉例說明了局部對(duì)稱性的出現(xiàn)可能導(dǎo)致含時(shí)哈密頓量的基態(tài)和激發(fā)態(tài)之間發(fā)

5、生能級(jí)交叉，從而使絕熱算法計(jì)算出錯(cuò)，并證明了全局對(duì)稱性和連續(xù)對(duì)稱性的出現(xiàn)通常會(huì)使系統(tǒng)的演化局限在一個(gè)子空間中，這有益于估算能隙的取值。利用全局對(duì)稱性，我們找到了一種決定絕熱算法在多解情形下的運(yùn)行時(shí)間的方法。在絕熱量子計(jì)算中，決定算法在多解情形下的運(yùn)行時(shí)間是一個(gè)未解決的問題。在這種情形下，基態(tài)在演化過程的末尾發(fā)生簡并，即能隙變?yōu)榱?，這使得通常計(jì)算運(yùn)行時(shí)間的方法失效。我們通過適當(dāng)?shù)倪x取初始哈密頓量，得到了一個(gè)具有全局對(duì)稱性的含時(shí)哈密頓量，這

6、意味著系統(tǒng)的演化局限在一個(gè)子空間中，在該子空間內(nèi)，基態(tài)變?yōu)榉呛啿?，從而可決定算法的運(yùn)行時(shí)間。
　　3)提出了一個(gè)在任意N頂點(diǎn)圖中尋找哈密頓圈的絕熱算法。哈密頓圈問題是由Karp提出的著名的21個(gè)NP完全問題之一，它在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上被認(rèn)為不能有效的求解。在該算法的幫助下，我們可以判斷出在一個(gè)給定圖中是否存在哈密頓圈，并且如果存在可以挑出其中的一個(gè)。該算法是平方加速的，因此與基于線圈模型的Grover算法具有相同的復(fù)雜度。盡管這里實(shí)現(xiàn)的