關于某些重要的Finsler度量.pdf

1、浙江大學理學院博士學位論文關于某些重要的Finsler度量姓名：李本伶申請學位級別：博士專業(yè)：基礎數(shù)學指導教師：沈一兵;白正國20070401摘 要由定義可見當％( z ，y ) 只與z 有關時，它就是一個黎曼度量；而當％( 盤，可) 只與y 有關時，貝l j 稱之為M i n k o w s k i 度量，近年來，F(xiàn) i n s l e r 幾何被應用到諸多領域中，如物理、生物、心理等等[ 1 s ] p g l [ 2 0 ] [

2、2 1 ] i 2 2 ] i 2 5 ] [ 3 2 ] [ z 3 ] ，重新得到了重視和發(fā)展[ 3 ] [ 4 1 1 5 1 ．在這些研究中，人們發(fā)現(xiàn)有一類F i n s l e r 度量非常重要，它由流形上的一個黎曼度量n = 、／石石廝和一個1 ．形式p = 機( z ) ∥構成．由于計算的繁復，對一般F i n s l e r 度量各種性質(zhì)的討論很困難，而對此類度量，雖然計算仍然繁復，但至少還可具體計算．稱之為( Q ，p

3、 ) - 度量或( 口，盧) 型度量[ 2 9 】．一個( o ，聲) - 度量可表示成F - - a 廬( s ¨= 筆，其中o = ~ ／瓦五萬驢是一個黎曼度量，盧= 執(zhí)( z ) 礦是一個1 ．形式，≯= ≯( s ) 是區(qū)間( 一b o ，6 0 ) 上的e m 正函數(shù)，并且滿足廬( O ) = 1 ，≯( s ) 一s ∥( s ) + ( b 2 一s 2 ) 礦( s ) > 0 ， I s l Sb &l

4、t; b o ，其中b = I I 良憶．這樣的F 是F i n s l e r 度量，當且僅當對任意z ∈M 有| | 風l I 。< b o ，其中0 尾牝表示口關于n 的模長( 【2 】) ．特別，當取≯= 1 時，這樣的( d ，p ) - 度量就是黎曼度量．另外當西= 1 + s 時，F(xiàn) = o + 口，稱之為R a n d e r s 度量，它由物理學家G ．P a n d e r s 在1 9 4 1 年首先研究，并

5、且后來被應用于電子顯微鏡的研究以及導航問題等等．又如型如F = 為( ≯= 1 ／( 1 一s ) ) 的度量，稱為M a t s u m o t o 度量，M a t s u m o t o 發(fā)現(xiàn)這個度量與斜坡上的物理問題有關i 3 0 j ．在F i n s l e r 幾何中，一個重要的問題就是對具有常數(shù)旗曲率F i n s l e r ] 宦量進行分類．另外一個重要問題就是對射影平坦度量進行分類．著名的B e l t r a m

6、 i 定理說，一個黎曼度量是局部射影平坦的充要條件為它是常曲率黎曼度量．因此在黎曼幾何中，以上兩個問題是相同的．然而在F i n s l e r 幾何中，既存在具有常數(shù)旗曲率但不是射影平坦的F i n s l e r 度量，也存在射影平坦但非常數(shù)旗曲率的F i n s l e r 度量．在1 7 1 中，沈忠民教授給出了射影平坦且具有常數(shù)旗曲率的度量F = F ( x ，Ⅳ) 在0 ∈胛處關于正的T a y l o r 展開．特別地，當

7、旗曲率K = 一{ 時可以得到在開球B nc j p 上定義的著名的F u n k 度量e ，。 ~ ／( 1 一I 圳2 ) I Ⅳ1 2 + ( z ，y ) 2 ．( z ，Y )。一—————i = ] ：i i —一+ 丁斫’其中Ⅳ∈L B “≈艫．另外，當旗曲率K = 0 時可以得到著名的B e r w a l d 度量。 ( ~ ／( 1 一k 1 2 ) l y l 2 + ( z ，Ⅳ) 2 + ( z ，y ) )