復雜結構拉丁超立方體設計的構造.pdf

1、試驗設計在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、科學研究等領域中一直扮演著重要的角色。傳統(tǒng)的試驗往往比較費時費力，甚至有的試驗是破壞性的，而隨著計算機技術的快速發(fā)展，計算機試驗應運而生，而且越來越不可或缺。與傳統(tǒng)試驗相比，計算機試驗不存在隨機誤差，也就是說，相同的輸入值會產(chǎn)生相同的輸出值。因此，傳統(tǒng)試驗設計的三個準則——重復、隨機化和分區(qū)組(WuandHamada(2009))，在計算機試驗的設計和分析中是不需要的。近些年來，計算機試驗的設計與分析得到了快速的發(fā)

2、展。設計方面最常見的是空間填充設計，包括拉丁超立方體設計(Mckay，ConoverandBeckman(1979))、均勻設計(Fang，LiandSudjianto(2006))及其一系列的改進;分析方面，在Sacks，Welch，MitchellandWynn(1989)把kriging建模方法引入計算機試驗以后，此方法得到了廣泛的使用和顯著的發(fā)展。本文所研究的是計算機試驗中的一些最新課題，包括適應于不同精度、同時含有定性定量因子

3、以及含有分支因子和嵌套因子計算機試驗的拉丁超立方體設計的構造。
　　計算機試驗的主要目的是模擬復雜的系統(tǒng)，比如天氣變化、導彈軌跡等，從而更好地認識其中的規(guī)律，進而做出預測。對復雜的系統(tǒng)，我們通常會用一個擬模型去近似，而計算機試驗在模擬這些復雜系統(tǒng)得到試驗數(shù)據(jù)之后，會建立簡單的替代模型。然而，即便如此簡單化，做一次試驗往往依然需要大量的時間，比如，使用有限元分析方法或者有限差分方法的計算機代碼。對于這樣的大型程序，科學家發(fā)現(xiàn)可以在不

4、同的精度下運行，比如高精度和低精度，提出了相應的設計構造方法和分析方法。由于高精度的試驗運行比較慢，但是得到的結果會更接近真實，而低精度的試驗運行快，但是結果卻不夠精確，于是可以多做一些低精度的試驗，建立低精度的模型，然后在已經(jīng)做過低精度試驗的一部分試驗點上做高精度的試驗，最后再用高精度的試驗數(shù)據(jù)對低精度的模型進行調(diào)整修正。分析方面的文獻主要有KennedyandO'Hagan(2000)，Qian，Seepersad，Roshan，A

5、llenandWu(2006)andQianandWu(2008)。另外，針對于這種兩精度試驗的數(shù)據(jù)采集，嵌套空間填充設計非常流行，文獻包括Qian，TangandWu(2009),Qian,AiandWu(2009),Qian(2009),HaalandandQian(2010),Sun,YinandLiu(2013)，Sun，LiuandQian(2013)，Yang，LiuandLin(2014)等等。特別地，Qian(2009)

6、構造了嵌套拉丁超立方體設計。所謂的嵌套拉丁超立方體設計是指，一個大的拉丁超立方體設計包含一個小的拉丁超立方體設計作為子集。比如對k個精度的計算機試驗，Qian(2009)的方法可以構造k層嵌套拉丁超立方體設計D1,...，Dk來進行，其中D1，...，Dk通常要滿足下面的條件:
　　(1)嵌套結構:D1(∈)...(∈)Dk;
　　(2)拉丁超立方體設計:每個Di都是拉丁超立方體設計。
　　另外，早期的計算機試驗所考慮

7、的因子一般都是定量的(Santner，WilliamsandNotz(2003)，F(xiàn)ang，LiandSudjianto(2006))，但是計算機試驗中是可以存在定性因子的。比如Schmidt，CruzandIyengar(2005)考察了一個設備中熱空氣擴散的試驗，其中擴散器的位置、熱空氣回流通道的位置都是定性因子。此外，Han，Santner，NotzandBartel(2009)考察的假肢模型，其中假肢所承受力的方式也是定性因子。

8、所以，考察同時含有定性和定量因子的計算機試驗的設計構造與分析是有意義的。關于這方面試驗的設計構造的文獻主要有QianandWu(2009)，Qian(2012),Yang,Lin,QianandLin(2013),Huang,YangandLiu(2013),Yang,Chen，LinandLiu(2013)等，分析方面主要有文獻Qian，WuandWu(2008)，Han，Santner,NotzandBartel(2009),Han

9、,Santner,NotzandLong(2009),Zhou,QianandZhou(2011)等。特別地，Qian(2012)提出了分片拉丁超立方體設計，它是一種特殊的拉丁超立方體設計，可以分成若干片，且每一片都是一個小的拉丁超立方體設計，每一片對應著試驗中定性因子的一個水平組合。
　　和普通的拉丁超立方體設計一樣，Qian(2012)提出的分片拉丁超立方體設計只能保證一維投影均勻性，不能保證在整個試驗區(qū)域上的均勻性，本文將利

10、用中心化的L2偏差準則(Hickernell(1998))對分片拉丁超立方體設計進行優(yōu)化，通過門限接受算法(DueckandScheuer(1990))構造均勻的分片拉丁超立方體設計。除此之外，由于每一片也是一個拉丁超立方體設計，所以每一片在試驗區(qū)域上的均勻性也是需要考慮的，我們將把設計的整體均勻性和各片均勻性結合在一起考慮，提出一個新的加權準則來對分片拉丁超立方體設計進行優(yōu)化，得到均勻性更好的分片拉丁超立方體設計。
　　此外，我

11、們發(fā)現(xiàn)在Qian(2009)提出的嵌套拉丁超立方體設計中，沒有分片結構。也就是說，他的設計不能適應高低精試驗中含有定性定量因子的情形，而高精度試驗和低精度試驗完全有可能都存在定性定量因子，為了適應這種情況，在嵌套拉丁超立方體設計中，需要有分片結構。為此，本文將提出帶有分片結構的嵌套拉丁超立方體設計的概念及其構造方法，并將通過模擬驗證這種改進的嵌套拉丁超立方體設計在建模的精度上比Qian(2009)中的普通嵌套拉丁超立方體設計要好。

12、>　　在計算機試驗中，還經(jīng)常會遇到有分支因子和嵌套因子的情況。嵌套因子依賴于分支因子的水平，在分支因子的不同水平下，存在著不同的嵌套因子。例如，在Hung，JosephandMelkote(2009)一文中，討論的生產(chǎn)電路板的例子就有分支因子和嵌套因子。在清潔電路板時，有兩種方法:機械擦拭和化學處理。如果采用機械擦拭，那么就要考察擦拭力度大小的不同效果;如果采用化學處理，就要考察不同腐蝕速率的效果。在這個試驗中，清潔方法就是分支因子，是

13、定性因子，它有兩個水平:機械擦拭和化學處理。而擦拭力度是定量因子，且只存在于機械擦拭這個方法下，腐蝕速率也是定量因子，且只存在于化學處理這個方法下。對于這種試驗，Hung，JosephandMelkote(2009)提出了分支拉丁超立方體設計，很好地解決了這種情況下的設計與分析。然而，他們沒有考慮對于定性的分支因子，整體設計中需要有分片的結構。此外，他們只考慮了嵌套因子是定量的情況，沒考慮嵌套因子也是定性的情況，而這種情形也是存在的。對

14、于分支因子和嵌套因子都是定性的情形，設計需要重新構造。所以，本文一方面將通過對分支拉丁超立方體設計添加分片結構使之得到改進，另一方面將針對分支和嵌套因子都是定性的情況構造新的設計。
　　下面我們簡要介紹本論文各章的主要內(nèi)容。
　　第一章介紹本文涉及的一些背景知識、用到的基本概念和符號。
　　第二章構造了帶有分片結構的嵌套拉丁超立方體設計。嵌套拉丁超立方體設計是針對多精度的計算機試驗提出來的，而分片拉丁超立方體設計是針對

15、同時含有定性定量因子的計算機試驗提出來的，也就是說，它們是被獨立地提出、獨立地研究的，然而這兩種情形是可能在同一試驗中出現(xiàn)的，比如一個含有定性定量因子的試驗需要在不同精度下完成。對此種情況，普通的嵌套拉丁超立方體設計和分片拉丁超立方體設計都不能很好地適應。本章提出了帶有分片結構的嵌套拉丁超立方體設計來適應這種情況，給出了一般的構造方法，且簡便易行。另外，還利用Matlab軟件包DACE建立了Gausskriging模型，結果表明新的具有

16、復雜結構的拉丁超立方體設計的效果要好于普通的嵌套拉丁超立方體設計和分片拉丁超立方體設計。
　　第三章討論了均勻分片拉丁超立方體設計的構造。分片拉丁超立方體設計也是一種復雜結構的拉丁超立方體設計，它能夠分成若干片，且每一片都是一個小的拉丁超立方體設計。這種設計保留了普通拉丁超立方體設計的一維投影均勻性，但是卻也無法保證試驗點在整個試驗區(qū)域上均勻性。本章首先利用中心化L2偏差對整個設計在試驗區(qū)域上的均勻性進行了優(yōu)化，得到了整體均勻的分

17、片拉丁超立方體設計。進一步考慮到每一片的均勻性也需要優(yōu)化，本章又提出了一個帶權重參數(shù)的組合優(yōu)化準則，即把設計的整體均勻性和各片均勻性用一個權重參數(shù)結合到一起的準則，在此準則下得到的設計可以同時照顧到整個設計和每一片的均勻性。另外，還利用畫“w-trace”（這里w為權重參數(shù)）的方法來確定了合適的權重參數(shù)。
　　第四章給出了改進的分支拉丁超立方體設計和雙分片拉丁超立方體設計的構造方法。計算機試驗經(jīng)常會遇到帶有分支因子和嵌套因子的情形