幾類偏微分方程最優(yōu)控制相關(guān)問(wèn)題研究.pdf

1、本文主要研究幾類偏微分方程最優(yōu)控制相關(guān)問(wèn)題，其內(nèi)容包括狀態(tài)方程的適定性、最優(yōu)控制的存在性以及最優(yōu)控制滿足的極大值原理。全文共分六章：
　　第一章主要闡述偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題的來(lái)源和研究對(duì)象，并簡(jiǎn)要介紹國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀以及本文的主要結(jié)果。
　　第二章研究了一類非線性色散淺水波方程的分布最優(yōu)控制問(wèn)題。首先利用Garlekin逼近方法和能量估計(jì)，在合適的狀態(tài)空間中證明了控制系統(tǒng)解的存在唯一性。其次引入所要討論的最優(yōu)控制問(wèn)題，并且

2、證明每一個(gè)給定的初始狀態(tài)都對(duì)應(yīng)著控制系統(tǒng)唯一的最優(yōu)控制。最后借助由A.Ya. Dubovitskii和A.A. Milyutin提出的泛函分析方法成功地推導(dǎo)出最優(yōu)控制成立的一階必要性條件，并指出最優(yōu)控制具有Bang-Bang性質(zhì)。本章得到的結(jié)果推廣和改進(jìn)了部分已知結(jié)果。
　　第三章考慮了具有一個(gè)捕食者和兩個(gè)被捕食者的生態(tài)模型的最優(yōu)控制理論，其目的在于通過(guò)人工干預(yù)使得此生態(tài)系統(tǒng)中三個(gè)物種的種群密度最大化。給定初始種群密度（均為正），

3、借助強(qiáng)連續(xù)算子半群理論和拋物方程的相關(guān)理論，首先證明了控制系統(tǒng)存在唯一的正強(qiáng)解，并且指出對(duì)于給定的初始種群密度，人工干預(yù)具有最優(yōu)的策略（即控制系統(tǒng)存在唯一的最優(yōu)控制）。然后借助于對(duì)偶原理推導(dǎo)出最優(yōu)控制的一階必要性條件和二階充要性條件。本章對(duì)相應(yīng)的最優(yōu)控制問(wèn)題給出了全面的回答，其結(jié)果是新的。
　　第四章處理了一類帶有記憶項(xiàng)的非線性耦合波動(dòng)方程的最優(yōu)控制問(wèn)題。首先利用經(jīng)典的變分原理和緊性原理給出了最優(yōu)控制變量的存在性證明。其次通過(guò)對(duì)近

4、似最優(yōu)控制變量（懲罰掉了狀態(tài)限制）的極值條件在合理的意義下取極限，推導(dǎo)出了最優(yōu)控制變量所滿足的龐氏極大值原理。作為主要結(jié)果的直接應(yīng)用，同時(shí)得到了由非線性Klein-Gordon方程組描述的最優(yōu)控制問(wèn)題的必要性條件，其結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[83]中關(guān)于Klein-Gordon方程最優(yōu)控制問(wèn)題的主要結(jié)果。
　　第五章討論了帶有逐點(diǎn)狀態(tài)限制的Boussinesq方程組的最優(yōu)控制問(wèn)題。首先證明了狀態(tài)函數(shù)關(guān)于控制函數(shù)的連續(xù)依耐性，然后利用E

5、keland變分原理和改進(jìn)的針狀變分技術(shù)，推導(dǎo)出了最優(yōu)控制滿足的逐點(diǎn)形式的龐氏極大值原理。另外，在某些強(qiáng)穩(wěn)定性條件假設(shè)下，進(jìn)一步得到了一種形式更強(qiáng)的龐氏極大值原理,其特點(diǎn)在于拉格朗日乘子可以取固定的常數(shù)。本章結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[86]中帶有積分型狀態(tài)限制最優(yōu)控制問(wèn)題的結(jié)論。
　　第六章研究了一類廣義Camassa-Holm方程的局部適定性、強(qiáng)解的爆破性以及解析解的存在性。首先利用Littlewood-Paley分解原理和傳輸方程