超對(duì)稱(chēng)KdV方程的玻色化及其可積性質(zhì)的研究.pdf

1、二十多年前，Korteweg-de Vries方程的N=1的超對(duì)稱(chēng)擴(kuò)張形式的成功構(gòu)造及關(guān)于其可積性質(zhì)的一系列討論開(kāi)啟了超對(duì)稱(chēng)可積系統(tǒng)這一全新的研宄領(lǐng)域。如今，超對(duì)稱(chēng)可積系統(tǒng)以其年輕的姿態(tài)和重要的影響力在許多研宄領(lǐng)域中占據(jù)著重要地位。其研宄意義深遠(yuǎn)不僅限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，還充分體現(xiàn)在現(xiàn)代物理各領(lǐng)域中的實(shí)際應(yīng)用上。所以，超對(duì)稱(chēng)可積系統(tǒng)受到越來(lái)越多的關(guān)注，圍繞其進(jìn)行的各種可積性質(zhì)研宄和嚴(yán)格解的構(gòu)建一直是一件非常有意義的工作。然而，由于反對(duì)易性質(zhì)費(fèi)米

2、場(chǎng)的存在，給關(guān)于包括超對(duì)稱(chēng)KdV方程在內(nèi)的所有超對(duì)稱(chēng)可積系統(tǒng)的研宄帶來(lái)與生俱來(lái)的困難，使得這些研宄在很大程度上受到限制。本文就KdV方程的M=1的超對(duì)稱(chēng)擴(kuò)張發(fā)展了一種玻色化方法，該方法可以有效地避免由反對(duì)易場(chǎng)所引起的困難，極大地充實(shí)了我們對(duì)超對(duì)稱(chēng)可積系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，為該領(lǐng)域的研宄開(kāi)拓了一條嶄新而有效的途徑。
　　本論文的主要工作包括三個(gè)方面的內(nèi)容：一方面，本文以玻色化方法為主要工具，以可積系統(tǒng)的基本理論為主要依據(jù)，對(duì) sKdV方程進(jìn)行

3、任意費(fèi)米參數(shù)的玻色化展開(kāi)，并進(jìn)一步對(duì)玻色化方程進(jìn)行約化，構(gòu)造出sKdV方程的豐富的嚴(yán)格解；另一方面，在現(xiàn)有的研宄基礎(chǔ)上，把研宄對(duì)象向KdV方程最一般N=1的超對(duì)稱(chēng)擴(kuò)張進(jìn)行擴(kuò)展，并對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格解和可積性的研宄；最后，仍然就KdV方程的M=1的超對(duì)稱(chēng)擴(kuò)張把玻色化方法向更一般化的方向進(jìn)行推廣，并選取其中一類(lèi)玻色化方程具體進(jìn)行奇性分析和嚴(yán)格解的討論。
　　本論文第一章作為緒論部分概括地介紹了非線(xiàn)性科學(xué)的內(nèi)容、意義和研宄狀況，簡(jiǎn)述了本論文所

4、涉及到的研宄非線(xiàn)性數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的主要數(shù)學(xué)方法及其發(fā)展歷程，概述了超對(duì)稱(chēng)非線(xiàn)性方程的起源、發(fā)展和研宄現(xiàn)狀，簡(jiǎn)要地介紹了超對(duì)稱(chēng)相關(guān)基本知識(shí)，重點(diǎn)介紹了 KdV方程及其超對(duì)稱(chēng)擴(kuò)張形式的數(shù)學(xué)物理背景和重要意義，簡(jiǎn)述了玻色化方法的特點(diǎn)、適用范圍和應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)闡明了本論文的選題和主要工作。
　　第二章首次將玻色化方法應(yīng)用于超對(duì)稱(chēng)可積系統(tǒng)，并就sKdV方程闡述了該方法。首先分別在兩費(fèi)米參數(shù)和三費(fèi)米參數(shù)情況下對(duì)該方程進(jìn)行玻色化，得到可解的玻色化

5、微分方程組。然后利用可積系統(tǒng)理論中簡(jiǎn)單有效的行波約化方法對(duì)玻色化方程進(jìn)行約化求解，得到了許多新的嚴(yán)格解的結(jié)構(gòu)，并對(duì)這些新解進(jìn)行了詳細(xì)的討論。在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了 KdV方程的任意解和任意對(duì)稱(chēng)的一種超對(duì)稱(chēng)擴(kuò)張模式，其中包括為人們所廣泛關(guān)注的單孤子和多孤子激發(fā)。最后把sKdV方程的玻色化及其行波約化推廣到任意有限個(gè)￡ N個(gè)）費(fèi)米參數(shù)情況，得到該方程的最一般形式的玻色化微分方程組和最一般形式的行波解。同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)，其實(shí)玻色化方法不僅適用于超對(duì)稱(chēng)

6、可積系統(tǒng)，該方法對(duì)所有含有反對(duì)易費(fèi)米場(chǎng)的系統(tǒng)，如超可積系統(tǒng)、純費(fèi)米系統(tǒng)，都有效。
　　第三章首先利用玻色化方法對(duì)KdV方程的最一般的M=1的超對(duì)稱(chēng)擴(kuò)張sKdV-a方程進(jìn)行兩費(fèi)米參數(shù)的玻色化，并對(duì)玻色化方程進(jìn)行李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)分析和對(duì)稱(chēng)性約化。然后對(duì)所得到的六種對(duì)稱(chēng)性約化形式進(jìn)行了詳細(xì)的討論分析，并以具體示例形式利用KdV方程的解給出了 a=2時(shí)的超對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的一種孤立子解。最后我們還構(gòu)造了一類(lèi)與參數(shù)a取值無(wú)關(guān)的新嚴(yán)格解，這類(lèi)解滿(mǎn)足KdV方程

7、的所有可能的M=1的超對(duì)稱(chēng)擴(kuò)張形式，特別是對(duì)于一直以來(lái)幾乎沒(méi)人關(guān)心的a=3并且a=0的sKdV-a方程的意義更是不容忽視。對(duì)于K d V方程的包括N-孤子解和t-函數(shù)解在內(nèi)的任意一類(lèi)解，都可以擴(kuò)張成sKdV-a方程的這類(lèi)解。
　　第四章將任意數(shù)目N個(gè)費(fèi)米參數(shù)的玻色化方法向另外一個(gè)重要方向推廣。具體來(lái)說(shuō)，就是將玻色化的sKdV方程（BsKdV)中玻色場(chǎng)的取值范圍從c-數(shù)代數(shù)空間擴(kuò)展到無(wú)限Grassmann偶代數(shù)Ge上。這樣一來(lái)，sK

8、dV方程解的范圍被進(jìn)一步擴(kuò)展，其中包含了更加豐富多彩的內(nèi)容。借助于奇性分析，我們證明了 BsKdV系統(tǒng)具有Painleve性質(zhì)，找到了該系統(tǒng)與非局域?qū)ΨQ(chēng)相關(guān)的BSckl皿d變換，并首次定義了留數(shù)對(duì)稱(chēng)。根據(jù)這樣的BScklund變換我們得到了BsKdV系統(tǒng)的一些對(duì)稱(chēng)性約化解。我們建立了一種得到BsKdV方程的嚴(yán)格解，進(jìn)而得到sKdV方程的嚴(yán)格解的更一般、更簡(jiǎn)單的方法，該方法可以被應(yīng)用于任何費(fèi)米系統(tǒng)。。利用含自由譜參數(shù)的留數(shù)對(duì)稱(chēng)，得到了無(wú)窮