非局部擴(kuò)散方程的行波解和整體解.pdf

1、反應(yīng)擴(kuò)散方程理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要組成部分.經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程中的擴(kuò)散項(xiàng)是由Laplace算子來(lái)體現(xiàn)的，而Laplace算子只能反映空間上的局部作用.事實(shí)上，在自然界中，空間上的非局部作用是普遍存在的.例如對(duì)一個(gè)生物種群來(lái)說(shuō)，它會(huì)在較大的空間范圍內(nèi)移動(dòng)而不僅僅局限在一個(gè)小范圍內(nèi)，這就導(dǎo)致了空間上非局部作用的發(fā)生.近年來(lái)，在生態(tài)系統(tǒng)、流行病學(xué)，材料科學(xué)等領(lǐng)域，人們建立了許多用卷積算子來(lái)描述空間非局部作用的擴(kuò)散方程，稱之為非局部擴(kuò)散方程.然而空

2、間的非局部性不但導(dǎo)致了數(shù)學(xué)理論研究上的困難，而且引起了許多動(dòng)力學(xué)行為上的本質(zhì)改變.例如，非局部性可能導(dǎo)致方程不滿足最大值原理，解的正則性降低，使得行波解的最小波速增大，行波解不唯一，也可能產(chǎn)生跳躍行波解等.因此，對(duì)非局部擴(kuò)散方程的研究具有重要的理論和實(shí)際意義.本論文研究一維非局部擴(kuò)散方程的行波解和整體解，這里所謂的整體解是指對(duì)所有時(shí)間t∈R都有定義的解.
　　 本文首先考慮了非迷向單穩(wěn)型非局部擴(kuò)散方程的行波解.通常在研究非局部擴(kuò)

3、散方程的行波解問(wèn)題時(shí)，人們先證明方程行波解的存在性，然后再研究行波解在無(wú)窮遠(yuǎn)處的指數(shù)衰減行為，這就要求卷積算子的核函數(shù)的性質(zhì)相當(dāng)好.為了減弱核函數(shù)的條件，我們直接研究指數(shù)衰減的行波解的存在性.先將方程行波解的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)適當(dāng)算子的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.構(gòu)造合適的上下解，利用上下解方法結(jié)合單調(diào)迭代技巧來(lái)證明指數(shù)衰減的行波解的存在性.接著運(yùn)用活動(dòng)平面技術(shù)證明了行波解的唯一性.進(jìn)一步地，為了證明行波解的漸近穩(wěn)定性，我們建立了一系列初值問(wèn)題的解的

4、性質(zhì)，并構(gòu)造了相應(yīng)的上下解.
　　 其次研究了非局部擴(kuò)散方程的整體解.因?yàn)榉蔷植繑U(kuò)散算子使得解的光滑性降低，為了保證初值問(wèn)題的解函數(shù)序列的收斂性，我們提高了對(duì)非線性項(xiàng)函數(shù)的要求，使得解函數(shù)關(guān)于空間變量Lipschitz連續(xù).通過(guò)利用兩列沿著實(shí)軸兩端以不同波速相向而行的行波解和空間齊次的解，分別建立了迷向單穩(wěn)型非局部擴(kuò)散方程的含五個(gè)參數(shù)，四個(gè)參數(shù)及三個(gè)參數(shù)的新型整體解，并得到了一些相關(guān)的性質(zhì).
　　 最后，考慮了迷向雙穩(wěn)型