在接觸力學(xué)中的奇異積分方程的高精度數(shù)值解法.pdf

1、奇異積分方程作為數(shù)學(xué)理論的一部分，在固體力學(xué)中有較強(qiáng)的實(shí)用性。很多固體力學(xué)的問(wèn)題，例如斷裂力學(xué)問(wèn)題、接觸力學(xué)問(wèn)題等，它們的數(shù)學(xué)模型都能夠歸結(jié)于奇異積分方程，同時(shí)，接觸力學(xué)在固體力學(xué)領(lǐng)域占有核心地位，所以，對(duì)奇異積分方程求解方法進(jìn)行研究并將其應(yīng)用于接觸問(wèn)題的分析，是具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值的。
　　目前，關(guān)于求解奇異積分方程的文獻(xiàn)很多，但是直接對(duì)奇異積分方程進(jìn)行求解顯得十分困難，因此，對(duì)此類問(wèn)題的研究轉(zhuǎn)為對(duì)其求數(shù)值解的研究。現(xiàn)在，奇異積分

2、方程的數(shù)值解法中最常用的是投影法，投影法包括配置法、Galerkin法和最小二乘法，然而這些方法有很多不足之處，因此本文提出了機(jī)械求積法，與投影法相比，機(jī)械求積法有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）能夠節(jié)省大量的計(jì)算量，對(duì)于矩陣中每個(gè)元素的生成，配置法需要計(jì)算一重奇異積分，Galerkin法和最小二乘法需要計(jì)算二重奇異積分，而本文提出的機(jī)械求積法不需要計(jì)算任何奇異積分，只須賦值，因此能夠減少大量的工作量；（2）數(shù)值解精度高，與配置法、Galerkin法得

3、到的數(shù)值解相比，機(jī)械求積法得到的數(shù)值解與理論解的誤差更??；（3）可以得到后驗(yàn)誤差估計(jì)，而配置法、Galerkin法和最小二乘法很難得到。
　　本文首先介紹了奇異積分方程理論及數(shù)值解法的發(fā)展情況，同時(shí)介紹了現(xiàn)有的幾種常用的具有代表性的方法，例如投影法中的配置法、內(nèi)插型求積公式法中的Gauss-Chebyshev求積公式法、Lobatto-Chebyshev求積公式法，在此基礎(chǔ)上，本文詳細(xì)介紹了求解奇異積分方程數(shù)值解的高精度機(jī)械求積法

4、，給出了具體的數(shù)值算例，通過(guò)算例說(shuō)明，機(jī)械求積法與前幾種方法相比，的確具有數(shù)值解精度高和降低計(jì)算量的優(yōu)點(diǎn)；其次，根據(jù)彈性力學(xué)的基礎(chǔ)理論，建立了兩個(gè)彈性體接觸時(shí)所對(duì)應(yīng)的奇異積分方程，運(yùn)用此方程研究了經(jīng)典的赫芝接觸問(wèn)題，對(duì)于給出的奇異積分方程，分別用有限元法、分片連續(xù)函數(shù)方法以及機(jī)械求積法對(duì)其數(shù)值解進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)具體的數(shù)值算例，對(duì)數(shù)值解和理論解之間的誤差結(jié)果進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證了機(jī)械求積法的優(yōu)越性；然后，將接觸問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的奇異積分方程的類型進(jìn)