Block型李代數的量子化及廣義Verma表示.pdf

1、李代數是由挪威數學家S.Lie和德國數學家W.Killing在研究無窮小變換的概念時各自獨立發(fā)現的.由于其在微分方程、微分幾何等許多學科中的廣泛應用使得該學科得以迅速的發(fā)展.結構理論和表示理論是李代數理論中的兩個最主要的課題.特別地，無限維李代數的表示理論是許多數學物理學家一直很感興趣的問題，也是近年來代數學科中最活躍的分支之一. 量子群是在二十世紀八十年代由V.G.Drinfeld和M.Jimbo在研究物理問題時，特別是對Ya

2、ng-Baxter方程的研究中各自獨立發(fā)現的.量子群不是群，而是特殊的Hopf代數，是一個李代數的普遍包絡代數的形變.量子群有一個很重要的結構，即李雙代數結構.所謂李雙代數就是一個李代數同時具有一個李余代數結構，而這兩種結構滿足一定的相容條件.對李代數()來說，經典的Yang-Baxter方程的解與()上的一個三角的李雙代數結構是一一對應的關系.計算出經典的經典Yang-Baxter方程的所有解一直是許多數學家和物理學家非常關心的問題.

3、在Hopf代數或量子群理論中，構造李雙代數的量子化是產生新的量子群的一個十分重要方法，研究李雙代數的重要目的之一就是對其量子化.因此研究李雙代數的上邊緣的、三角的結構并對其進行量子化是研究量子群的非常重要的課題之一.在量子群的研究中還有一個有趣的課題就是構造李代數的量子形變及其相對應的量子群結構.所謂的李代數的量子形變就是對李代數的李運算中加入一些參數，使之廣義化.當參數趨向于1時，李代數的量子形變就回到原來的李代數；另外，李代數的一些

4、性質在它的量子形變中仍然保持.李代數的量子形變在數學物理等學科有著廣泛的應用. 1958年R.Block引入了一類無限維單李代數(后來被稱為Block型李代數).自此以后，有關研究這類李代數的文章陸續(xù)出現.Block型李代數之所以得到如此高的重視，其中一個重要原因在于該代數與Virasoro代數及Cartan型李代數密切相關(廣義Block型李代數包括CartanS型或H型李代數，Virasoro-like及q-類似Viraso

5、ro-like等代數).眾所周知，Virasoro代數在數學物理的很多領域有著極其重要的作用，Cartan型單李代數在李代數理論中也起著非常重要的作用.如今，Virasoro代數的表示問題已得到比較完善的解決，然而Cartan型李代數的表示理論卻遠遠不夠完善，所以研究一些特殊的Cartan型李代數的結構與表示是一項很有意義的工作. 最高權表示無疑是表示理論中的最重要的課題之一.目前對仿射Kao-Moody代數，Virasoro代

6、數，量子代數及Yangians的Verma表示的研究已取得了可喜的成績，但Verma表示的研究還有待發(fā)展，還有很多有趣的沒解決的問題.其中之一是對Verma表示的研究進行推廣，而推廣Verma模本身是一個最自然的想法.研究廣義Verma模可以更好地理解經典Verma模的結構和性質. 本論文共分四部分，第一部分是研究一類Block型李代數(該代數與著名的李代數W1+∞密切相關，也是CartanS型或H型李代數的特殊情況)的李雙代數

7、結構；研究q-類似Virasoro-like代數的李雙代數結構.通過煩瑣且富有技巧的計算我們得出它們所有導子的集合中沒有外導子.在計算Block型李代數的李雙代數結構時，我們應用到了Virasoro代數的中間序列模的已有結果，把Block型李代數在伴隨表示意義下看成Virasoro代數的某類中間序列模來處理，把復雜的計算變的清晰而有條理.最后證明了這兩類李代數上的李雙代數結構是上邊緣的，三角的.第二部分是對第一部分的李雙代數進行量子化，

8、通過構造Drinfeld扭對李雙代數的余乘法和對徑點扭一下，但保持乘法和余單位不變來實現.第三部分是研究另一類Block型李代數的廣義Verma表示.我們構造了該類李代數的廣義Verma模，確定了該表示的不可約性.第四部分是研究Heisenberg-Virasoro代數的量子形變，我們給出了Heisenberg-Virasoro代數的量子形變的一個實現，之后研究它的中心擴張并計算出它的第二上同調群.最后給出與Heisenber-Vira