UV-分解方法的某些新的研究結(jié)果.pdf

1、摘要在非光滑優(yōu)化中，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)及二階展開(kāi)對(duì)于最優(yōu)性條件的研究以及設(shè)計(jì)具有高階收斂性的算法都是不可缺少的工具.因此，非光滑函數(shù)的二階性質(zhì)與展開(kāi)的理論和應(yīng)用方面的研究一直倍受關(guān)注.2000年，LemarechalMifflinSagastizabal和Oustry等提出的uv一分解理論，給出7研究非光滑凸函數(shù)的二階性質(zhì)的新方法uv一分解理論的基本思想是將Rn分解為兩個(gè)正交的子空間u和v的直和，使原函數(shù)在u空間上的一階逼近是線性的，而其不

2、光滑特征集中于v空間中，借助于一個(gè)中間函數(shù)，ULagrange函數(shù).來(lái)得到函數(shù)在切于“的某個(gè)光滑軌道上的二階展式.然而，我們注意到，ULagrange函數(shù)的光滑性以及相應(yīng)的最優(yōu)解集的特征仍然沒(méi)有明確的結(jié)果，需要進(jìn)一步的研究，以更好地揭示函數(shù)的二階性質(zhì)，便于應(yīng)用.另外，能否將uv分解理論推廣到非凸函數(shù)，并以此工具研究非凸的非光滑函數(shù)的二階性質(zhì)，以便解決非凸函數(shù)的非光滑優(yōu)化間題，這也是很重要的研究工作本文圍繞上述問(wèn)題展開(kāi)研究，主要工作如下:

3、l.在第二章中，在LemarechalMifflinSagastizabal和Oustry(2000)[35的uv一分解理論基本框架下，我們證明了最優(yōu)解集w()的特征、外半連續(xù)性以及它在。點(diǎn)的連續(xù)性.同時(shí)，給出了ULagrange函數(shù)的共扼函數(shù)的代數(shù)性質(zhì)和徑向強(qiáng)凸性等結(jié)果.這些結(jié)論能夠使我們對(duì)于函數(shù)在“空間上的近似以及快速軌道的形式有更深入的了解.2.在第三章中，對(duì)應(yīng)于幾類特殊函數(shù)，我們給出了相應(yīng)的uv空間分解和ULagrange函數(shù)的

4、形式.首先，對(duì)于一類D.C.函數(shù)，利用函數(shù)的近似次微分，給出了針對(duì)此類函數(shù)的對(duì)應(yīng)的uv空間，以及不同于凸函數(shù)的ULagrange函數(shù)的表達(dá)式，得到函數(shù)在u空間上的二階近似.其次，利用函數(shù)的正則次微分的概念，給出了對(duì)應(yīng)于下半連續(xù)函數(shù)的uv空間分解和ULagrange函數(shù)，并得出相應(yīng)的結(jié)果.最后我們給出了Hilbert空間上的凸泛函的uv一分解理論的基本框架.3，在第四章中，我們將Uv一空問(wèn)分解理論應(yīng)用于非線性規(guī)劃中.首先對(duì)于具有不等式約束

5、的非線性規(guī)劃問(wèn)題，將[35』的結(jié)果推廣到選取一般次梯度的情形，以便更好地應(yīng)用“v一分解算法.其次，對(duì)具有無(wú)限個(gè)約束的半無(wú)限規(guī)劃間題，我們引入全指標(biāo)集和可行全指標(biāo)集的概念，應(yīng)用凸分析及泛函分析的結(jié)果，研究了其精確罰函數(shù)的ULagrange函數(shù)及其性質(zhì).4在第三章給出的一類D.C.函數(shù)的uv分解理論的前提下，我們?cè)诘谖逭轮醒芯坎⒌玫搅藷o(wú)約束D.C.規(guī)劃和約束D.C.規(guī)劃的最優(yōu)性條件，給出了無(wú)約束D.C規(guī)劃的uv一空問(wèn)分解算法和收斂性定理.特

6、別對(duì)一類max型D.C.規(guī)劃間題，分別對(duì)其具有線性約束和非線性約束的情況進(jìn)行了研究，給出了max型D.C.規(guī)劃的uv空問(wèn)分解算法及其收斂性定理.最后，得到了可以局部轉(zhuǎn)化為D.C.函數(shù)的一類函數(shù)AbstractInnonsmoothoptimizationsecondorderderivativesconstituteasignificanttoolbothforderivingoptimality(妙meansofoptimalityc

7、onditions)anddevelopingalgorithms(飾meansoflocalquadraticapproximations).Thereforethestudyconcerningthetheoryandapplicationofthesecondorderbehaviourofnonsmoothfunctionhasbeenpaidmuchattention.LemarechalMifflinSagastizabal

8、andOustry(35)(2000)introducedtheUVtheorywhichopensawaytodefiningasuitablerestrictedsecondorderderivativeofaconvexfunctionfatanondiferentiablepointa.ThebasicideaistodecomposeR“intotwoorthogonalsubspacesUandVdependingonxso

9、thatfsnonsmoothnessnearthepointisconcentratedessentiallyinV.AcertainLagrangianassociatedwiththeconvexfunctionwasintroducedcalledULagrangian.Whenfsatisfiescertainstructuralpropertiesitispossibletofindsmoothtrajectoriesvia

10、theintermediatefunctionyieldingasecondorderexpansionforf.ButtherearenoresultsoncharacterizingofthesetofminimizersandthesmoothnessoftheULagrangian.Thereforethefurtherstudyonthehigherorderbehaviourofconvexornonconvexfuncti

11、onsisquitenecessaryforhandlingtherelatednonsmoothoptimizationproblemsInthisdissertationwefocusonthestudyofUVtheoryanditsapplication.Webrieflystateourresearchesasfollows.1.InChapter2thebasiccharacteristicuppersemicontinui

12、tyandthecontinuityat0ofthesetofminimizersarepresentedanddemonstrated.SomeoperationsoftheconjugateofULagrangianofafiniteconvexfunctionandsomeresultsontheradialstrongconvexityoftheconjugateofULagrangianaregiven.Theseresult

13、scanhelpustodeeplyunderstandthefirstandsecondorderbehaviouroffontheUspaceandthecharacteristicofthefasttrark.2.InChapter3theUVdecompositiontheoryandtheULagrangianareprovidedforthreespecialfunctions.SincethetheoryofUVdecom

14、positionofspacesandsubdiferentialsofconvexfunctionscannotbedirectlyextendedtononconvexfunctionsthenotionsofproximalsubdiferentialandregularsubdiferentialareneededforstudyingnonconvexfunctions.BasedontheseconceptstheUVdec

15、ompositiontheoryandthenewrepresentationsoftheULagrangianforD.C.functionsandlowersemicontinuousfunctionsareconstructedrespectively.AttheendofthischaptertheUVdecompositiontheoryandtheULagrangianforconvexfunctionalsontheHil