涉及導數(shù)的亞純函數(shù)的惟一性及其相關問題.pdf

1、亞純函數(shù)的惟一性理論是復分析領域的重要研究內容.所謂惟一性問題就是研究滿足一定條件的函數(shù)是否惟一.亞純函數(shù)理論起源于芬蘭數(shù)學家R.Nevanlinna所創(chuàng)立的值分布理論.Nevanlinna理論的創(chuàng)立不僅奠定了現(xiàn)代亞純函數(shù)理論的基礎，而且對數(shù)學的許多分支的發(fā)展，交叉和融合也產生了重大而深遠的影響.特別是它在復微分方程理論的研究中，提供了十分重要的研究工具.近幾十年來，這一理論一直倍受關注.亞純函數(shù)惟一性理論作為值分布論中一個重要的研究內

2、容，也一并成為國際上比較活躍的課題.國外的數(shù)學家如F. Gross、W. Hayman等在該領域做出了眾多出色的成果.我國數(shù)學家熊慶來，楊樂和儀洪勛等也在這一方面取得了許多深刻的結論.隨著研究的不斷深入和發(fā)展，這一理論將會變得更加豐富和重要.
　　 本文以值分布理論為重要工具，研究了涉及導數(shù)的亞純函數(shù)的惟一性問題，全文共分五章.
　　 第一章，簡要介紹了有關亞純函數(shù)值分布理論的一些主要概念、基本結果和常用符號.
　

3、　 第二章，討論了關于整函數(shù)分擔多項式的惟一性問題，推廣了方明亮的有關定理.定理2.1假設f和g是兩個非常數(shù)整函數(shù)，p(z)為次數(shù)為n1的多項式，n1，n，k為三個正整數(shù)，且滿足n＞2n1+2k+2.如果(fn)(k)和(gn)(k)分擔p(z)CM，則(1)k=1，f(z)=c1ec(f)p(z)dz，g(z)=c2e-c(f)p(z)dz，其中c1，c2和c為三個常數(shù)，且滿足n2(c1c2)nc2=-1；或者
　　 (2)

4、f=tg，其中t為常數(shù)且tn=1.
　　 第三章，討論了涉及整函數(shù)與其導數(shù)分擔多項式的惟一性問題，改進了原有的定理.定理3.1設p(z)為超越整函數(shù)，Q(z)為q次的非零多項式，其中k(≥q+1)為正整數(shù).若f為方程f(k)(z)-Q(z)/f(z)(z)-Q(z)=ep(z)的任一解，并且存在正整l(q+1≤l≤k)滿足m(r，1/f(l))=O{logrT(r，f)}(r→∞,r(E)E)，其中E為有窮線性測度集，則v(f)

5、=∞.定理3.2設f(z)為非常數(shù)的整函數(shù)且滿足v(f)＜∞，其中v(f)不為正整數(shù)，Q(z)為q(q≥1)次的多項式.若f，f(n)和f(m)分擔Q(z)CM，其中正整數(shù)n和m滿足q+1≤n＜m，則存在有窮復數(shù)λj(≠0)(1≤j≤m-n)，c(≠0)且滿足λnj=λnj=c(1≤ j≤m-n)，使得f(z)=m-n∑j=1djeλjz/c+(c-1)Q(z)/c，其中dj(1≤ j≤m-n)為有窮復常數(shù).
　　 第四章，涉及

6、到亞純函數(shù)與其導數(shù)分擔一個小函數(shù)的惟一性問題，進而推廣了Yu，Liu和Gu等人的有關定理.定理4.1設f和a(≠0，∞)為亞純函數(shù)，且T(r，a)=S(r，f,Ep)(a，f)=Ep)(a，L(f))，若p≥3且2δk+2+2(0，f)+2δ2(0，f)+δ(a，f)+(k+8)(Ξ)(∞，f)＞k+10，或者，若p=2且2δk+2(0，f)+δ+1(0，f)+3δ2(0，f)+δ(a，f)+(2k+10)(Ξ)(∞，f)＞2k+14，

7、或者，若p=1且2δ+2(0，f)+2δk+1(0，f)+4δ2(0，f)+δ(a，f)+(3k+12)(Ξ)(∞，f)＞3k+18，則f≡L(f).
　　 第五章，研究了一類非齊次線性復微分方程解的增長性，從而證明了下列結果.定理5.1設h0為超越慢增長整函數(shù)，Q(z)為非零多項式，k≥1為正整數(shù)，aj(j=1，2，………，k-1)為常數(shù).如果f(z)為微分方程 f(k)+ak-1f(k-1)+…+a1f'-(eQ(z)-h0