拓撲自旋系統(tǒng)中的量子相變.pdf

1、相變伴隨著人們生活每一天。生活中諸如水的凝固所對應的熱力學相變是由熱力學漲落引起的。研究由這些經(jīng)典漲落造成的相變足以讓人們明白許多物態(tài)變化過程中的奧妙之處，進而揭示更多有趣的道理。與此對應的，自然界還存在另一類相變：它們在量子漲落的驅動下發(fā)生。量子漲落指在特定系統(tǒng)中，一些量子算符的期望值永遠具備一定的不確定度。在溫度足夠低的時候，實驗上觀測到的相變只可能由量子漲落引起，原因在于這時候量子漲落比經(jīng)典漲落大很多，從而導致系統(tǒng)中由漲落造成的物

2、理現(xiàn)象只可能由量子理論來解釋。一個典型的量子相變例子即在高溫超導現(xiàn)象中，通過調節(jié)系統(tǒng)中某一個元素的濃度，系統(tǒng)可以發(fā)生從磁態(tài)到超導態(tài)的突變。量子相變在凝聚態(tài)物理乃至其他許多領域都受到廣泛重視。
　　傳統(tǒng)的相變可以用對稱破缺理論刻畫。后來人們發(fā)現(xiàn)在一些體系中可以發(fā)生不可能被對稱破缺理論刻畫的相變。在發(fā)生這些相變的系統(tǒng)里，有一大類就是存在拓撲序的系統(tǒng)。拓撲序有別于由對稱性來保證不等于零的局部序，它是一種新型序參量。人們認為可以用因為把量

3、子系統(tǒng)放在特殊拓撲面上而導致的基態(tài)簡并度、量子數(shù)的分數(shù)化、拓撲糾纏熵等物理量來刻畫拓撲序。在存在拓撲序的量子系統(tǒng)中，人們研究過大量的量子相變現(xiàn)象。其中，人們研究過一個系統(tǒng)從僅具備經(jīng)典序而不具備拓撲序到一個拓撲有序態(tài)的量子相變。由于一個具備拓撲序的物態(tài)不存在局部序參量，而拓撲量子現(xiàn)象的研究尚處于一個有待發(fā)展完善的階段，所以人們努力從多方面來研究涉及到拓撲相的相變發(fā)生時系統(tǒng)的性質。
　　近年來，由加州理工學院A.Kitaev提出的一個

4、定義在二維六角蜂窩狀格子上的拓撲自旋模型引起了人們的注意。首先，該模型具備拓撲序而且可以有阿貝爾或者非阿貝爾任意子激發(fā)。其次，通過費米化該模型，人們可以嚴格求解出它的一個基態(tài)。該基態(tài)具備很多新奇的性質，例如，關聯(lián)函數(shù)僅僅只在最緊鄰格點之間不等于零、系統(tǒng)中隱含的一種序在一定的表象下極其類似于局部序參量等。另外，由于人們認為可能通過拓撲有序系統(tǒng)中的任意子來施行量子計算，所以在二維六角蜂窩狀格子上的Kitaev自旋模型越發(fā)受到人們的重視。

5、r>　　在量子相變的研究中，人們發(fā)現(xiàn)量子糾纏在相變的時候常常表現(xiàn)出各種奇特性質。由于很多具備量子相變的系統(tǒng)是強關聯(lián)的，所以無法嚴格求解它們的基態(tài)。在研究量子糾纏在量子相變發(fā)生時的性質時，很多研究依賴于數(shù)值計算。例如，人們曾經(jīng)通過數(shù)值計算驚奇地發(fā)現(xiàn)可以通過比較量子糾纏的解析性在系統(tǒng)的尺寸變化時所表現(xiàn)出來的走向趨勢來尋找系統(tǒng)的臨界點位置。后來，人們分別在不同的自旋系統(tǒng)和費米子系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)量子糾纏幾乎總會在相變時表現(xiàn)出臨界現(xiàn)象。但是，我們是否可

6、以通過嚴格計算給出一個系統(tǒng)中量子糾纏在相變時表現(xiàn)出臨界現(xiàn)象的必然關系呢?通過研究一個定義在二維六角蜂窩狀格子上擴展的Kitaev自旋模型，我們發(fā)現(xiàn)可以找到這種必然關系。解析和數(shù)值計算分別表明，相變時系統(tǒng)的基態(tài)能是非解析的，同時，系統(tǒng)中的二體糾纏度也是非解析函數(shù)。重要的是，我們證明了這兩個非解析性之間存在一個數(shù)量上的關系；我們給出了聯(lián)系這種數(shù)量關系的中介：系統(tǒng)中的自旋-自旋關聯(lián)函數(shù)。通過這個例子，我們似乎可以推測，任何量子相變的發(fā)生應該會

7、伴隨著一些量子糾纏的臨界現(xiàn)象，因為系統(tǒng)基態(tài)能和量子糾纏存在一定的內在聯(lián)系。
　　在Kitaev類型的自旋模型中，人們發(fā)現(xiàn)它可以發(fā)生從有能隙的阿貝爾相到無能隙的相之間的相變、阿貝爾到非阿貝爾相之間的相變以及具備不同陳數(shù)的兩個非阿貝爾相之間的相變。但是是否存在既不改變系統(tǒng)拓撲類而又是發(fā)生在兩個阿貝爾區(qū)或者兩個非阿貝爾區(qū)之間的相變呢?通過研究定義在三角-六角格子上的Kitaev自旋模型，我們發(fā)現(xiàn)它的基態(tài)中存在發(fā)生在兩個陳數(shù)等于零的阿貝爾