非厄密量子力學(xué).pdf

1、上世紀(jì)二十年代，在總結(jié)大量實(shí)驗(yàn)和舊量子論的基礎(chǔ)上，建立了反映微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的量子力學(xué)。人們開始深入地研究物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)，從而物質(zhì)的物理和化學(xué)性能極其變化規(guī)律被進(jìn)一步地掌握。反映這些物質(zhì)特性的重要指標(biāo)是可觀測(cè)物理量，它們?cè)诹孔恿W(xué)中用算符來(lái)表示?？捎^測(cè)物理量與實(shí)際應(yīng)用相聯(lián)系，被當(dāng)做量子理論的基本要求和前提，而厄密算符能與所有這些量子理論基礎(chǔ)自洽，所以長(zhǎng)期以來(lái)量子力學(xué)中用厄密算符表示可觀測(cè)物理量成為一種根深蒂固的觀念。但事實(shí)上可觀測(cè)物理量

2、只是算符具有厄密性的必要條件，很多非厄密算符也可以對(duì)應(yīng)正定的實(shí)數(shù)本征值。這些非厄密算符也對(duì)應(yīng)一套自洽的量子理論，這些理論大大地?cái)U(kuò)展了厄密量子理論的應(yīng)用范圍。
　　 本論文主要研究非厄密量子力學(xué)中的PT對(duì)稱理論和贗厄密量子理論，歸納如下:
　　 通過(guò)對(duì)贗厄密量子理論的研究，我們?cè)谝粋€(gè)各向異性平面諧振子中加入一個(gè)正比于ip(1)p2的虛數(shù)作用項(xiàng)，從而構(gòu)建了一個(gè)兩維具有置換對(duì)稱性的PT贗厄密哈密頓量模型，并證明了此模型等價(jià)于P

3、ais-Uhlenbeck振子，從而在此PT對(duì)稱贗厄密系統(tǒng)與四階微分振子模型之間建立聯(lián)系。我們還發(fā)現(xiàn)了模型中存在的置換對(duì)稱性自發(fā)破缺機(jī)制，這種機(jī)制在給出模型的實(shí)數(shù)能譜中起著關(guān)鍵作用，并保證其能譜不會(huì)出現(xiàn)正負(fù)能級(jí)置換現(xiàn)象。進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，我們模型中的二維置換對(duì)稱性對(duì)應(yīng)于Pais-Uhlenbeck振子中兩個(gè)不相等頻率的等價(jià)性（不是大小，而是屬性），并揭示了在Pais-Uhlenbeck振子中作為前提要求的非等頻條件可以合理地被解釋為這種等價(jià)性

4、的自發(fā)破缺。
　　 我們構(gòu)建了一種適用于贗厄密系統(tǒng)的代數(shù)方法，為此引入了算符η+，定義了新的刃矢量態(tài)和刁矢量態(tài)，并重新定義互為η+贗厄密共軛的產(chǎn)生算符和湮滅算符。作為應(yīng)用，構(gòu)建了一個(gè)宇稱(P)贗厄密哈密頓量，并進(jìn)行了詳細(xì)分析，而且使用這種代數(shù)方法得到了此哈密頓量系統(tǒng)的實(shí)數(shù)能譜。還通過(guò)特殊選擇的V算符確定了相應(yīng)的算符η+=PV。對(duì)于V算符的選擇來(lái)說(shuō)，一方面要保證P贗厄密哈密頓量同時(shí)具有PV贗厄密自伴隨性質(zhì)，另一方面，PV還要確保系

5、統(tǒng)具有實(shí)數(shù)能譜和正定內(nèi)積。另外，當(dāng)此P贗厄密哈密頓量系統(tǒng)被拓展到空間坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符都不對(duì)易的正則非對(duì)易空間時(shí)，得出了一階非對(duì)易修正的能譜。尤其是發(fā)現(xiàn)，非對(duì)易性并沒有改變系統(tǒng)能譜的實(shí)數(shù)性和正定內(nèi)積。
　　 利用代數(shù)方法重新討論了兩個(gè)非厄密的PT對(duì)稱哈密頓量系統(tǒng)，這種代數(shù)方法源于求解贗厄密哈密頓量系統(tǒng)而非PT對(duì)稱系統(tǒng)。相比于將一個(gè)非厄密哈密頓量轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的厄密哈密頓的方法來(lái)說(shuō)，代數(shù)方法的優(yōu)點(diǎn)是不改變PT對(duì)稱哈密頓量的Hilber

6、t空間。我們引入算符V來(lái)替代C，從而給出PT對(duì)稱系統(tǒng)的正定內(nèi)積。算符V與PT對(duì)稱量子力學(xué)中通常采用的C算符有相同的作用，但它可以直接利用哈密頓量來(lái)構(gòu)建，應(yīng)用更加方便。最后得到了兩個(gè)非厄密PT對(duì)稱系統(tǒng)的能譜，這些結(jié)果與原文章中的一致，并且，我們還求出了這兩個(gè)非厄密PT對(duì)稱系統(tǒng)的正定內(nèi)積。
　　 推導(dǎo)了在二維坐標(biāo)空間含有兩個(gè)獨(dú)立小量的非厄密微擾公式。運(yùn)算過(guò)程中，用到非厄密系統(tǒng)的正定內(nèi)積，而不是普通厄密量子力學(xué)中的正定內(nèi)積，比如η+贗

7、厄密內(nèi)積或PTV內(nèi)積。得到的本征態(tài)函數(shù)和能譜的微擾公式分別精確到兩個(gè)小量的一階和二階。我們通過(guò)在一維自由諧振子中加入一個(gè)正比于ixp的非厄密項(xiàng)，構(gòu)建了一個(gè)非厄密PT對(duì)稱哈密頓量，并得到了它的實(shí)數(shù)能譜和本征函數(shù)。進(jìn)而，此模型被推廣到動(dòng)量和坐標(biāo)都不對(duì)易的非對(duì)易空間，然后利用推導(dǎo)的非厄密微擾公式得到了推廣后分別精確到兩個(gè)小量一階和二階的本征函數(shù)和能譜，而且驗(yàn)證了推廣后的系統(tǒng)本征函數(shù)依然具有PTV正定內(nèi)積。從對(duì)易空間推廣到非對(duì)易空間，非厄密PT