基于HDG的混合網(wǎng)格法的應(yīng)用研究.pdf

1、尋求高效求解偏微分方程的方法對(duì)科學(xué)的發(fā)展起了很大的作用。例如在工程和航空航天科學(xué)、通信等許多領(lǐng)域具有相當(dāng)重要性的計(jì)算電磁學(xué)，就是利用數(shù)學(xué)理論將其轉(zhuǎn)化為求解麥克斯韋方程。而電磁學(xué)的應(yīng)用也促使了求解麥斯威爾方程的計(jì)算技術(shù)的發(fā)展。
　　在本文中，我們首先介紹了一些在電磁學(xué)中應(yīng)用于求解Maxwell方程的有效方法，如有限元法、間斷伽遼金（DG）方法等。在這些方法的基礎(chǔ)上不斷改進(jìn)，發(fā)展出了通過(guò)引入雜交項(xiàng)求解的雜交間斷伽遼金（Hybrid d

2、iscontinuous Galerkin，HDG）法，它使得方程組最終形成一個(gè)只包含雜交項(xiàng)的線性系統(tǒng)。本文就是采用HDG算法來(lái)離散求解二維時(shí)諧Maxwell方程組。HDG算法不僅保留了DG方法的優(yōu)點(diǎn)，還減少其全局耦合自由度數(shù)目（DOFs），使得求解更快速。然而，一般基于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的HDG法只適用于形狀規(guī)則的圖形，對(duì)于復(fù)雜形狀的圖形則難以適應(yīng)。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格很好地解決了這一難題，但同時(shí)也要消耗大量計(jì)算資源。于是，基于這兩種網(wǎng)格而發(fā)展出來(lái)的

3、混合網(wǎng)格技術(shù)便成為了未來(lái)的區(qū)域剖分技術(shù)發(fā)展的趨勢(shì)。
　　本文的工作是在基于結(jié)合非結(jié)構(gòu)化三角形和結(jié)構(gòu)化四邊形的混合網(wǎng)格上使用HDG方法對(duì)二維時(shí)諧的麥克斯韋方程進(jìn)行求解。在求解區(qū)域的網(wǎng)格生成過(guò)程中，將區(qū)域剖分成兩個(gè)部分，內(nèi)部具有復(fù)雜幾何的區(qū)域離散成非結(jié)構(gòu)的三角形網(wǎng)格，其余外部自由空間離散成結(jié)構(gòu)的四邊形網(wǎng)格。在HDG框架下，兩種網(wǎng)格的交界處可以很好得到耦合。基于混合網(wǎng)格的HDG算法在保留了HDG法本身適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀、易得到高精度、h

4、p-自適應(yīng)和天然的并行性等優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，減小了計(jì)算問(wèn)題的復(fù)雜度和規(guī)模，使得我們可以得到一個(gè)更小的線性系統(tǒng)。同時(shí)，混合網(wǎng)格結(jié)合了結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的靈活性和完備性優(yōu)點(diǎn)及非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格對(duì)復(fù)雜外形的適應(yīng)、網(wǎng)格自適應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)，既滿足了對(duì)復(fù)雜形狀的適用，又克服了大量消耗計(jì)算資源的不足。文章最后通過(guò)普通電磁場(chǎng)介質(zhì)散射模型以及納米線散射模型進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)?zāi)M實(shí)現(xiàn)此方法，并與一般非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的HDG方法進(jìn)行比較，得出了在獲得相同精度情況下，基于混合網(wǎng)格的HDG方法有更少的自