嘔心整理圓錐曲線中的7類最值問題

1、嘔心整理圓錐曲線中的 嘔心整理圓錐曲線中的 7 類最值問題 類最值問題圓錐曲線最值問題是高考中的一類常見問題，解此類問題與解代數(shù)中的最值問題方法類似，由于圓錐曲線的最值問題與曲線有關(guān)，所以利用曲線性質(zhì)求解是其特有的方法。下面介紹7 種常見求解方法1【二次函數(shù)法】將所求問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，再利用配方法或均值不等式或判別式等方法求解?！镜湫屠} 1】過動直線 x+2y=p 與定直線 2x-y=a 的交點（其中 ）的等軸雙曲線系 (0

2、,3 ] p a ?中 ， 當 p 為何值時， 達到最大值與最小值？ 2 2 x y ? ?? ?分析：求出交點坐標代入雙曲線,可得 的二次函數(shù)表達式，再利用函數(shù)方法求解。 ?解：由 , 得 交點 ,22 {x y ax y p????2 2 ( , ) 5 5p a p a Q ??交點 Q 坐標代入雙曲線,= = 2 2 x y ? ??? 2 2 2 2 ( ) ( ) 5 5p a p a ?? ? 2 2 1 ( 3 8

3、3 ) 25 p ap a ???= .22 1 4 25 [ 3( ) ]. 25 3 3a a p ??? (0,3 ] P a ?當 , ,又 , ； 43a p ? 2max13 a ? ? 0 3 p a ?? 4 4 5 , 3 3 3a a a p ????? 4 5 | | 3 3a a p ???當 p=3a 時,min 0. ? ?[點悟] 把所求的最值表示為函數(shù)，再尋求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，但要注意函數(shù)的定

4、義域?！咀兪接?xùn)練 1】已知 A，B，C 三點在曲線 y＝ 上，其橫坐標依次為 1， xm,4(1<m<4)，當△ABC 的面積最大時，m 等于( )A．3 B. C. D.945232答案 B 解析 由題意知 A(1,1)，B(m， )，C(4,2)．直線 AC 所在的方程為 x m－3y＋2＝0，點 B 到該直線的距離為 d＝ .S△ABC＝ |AC|·d＝ × &#

5、215;|m－3 m＋2|10121210|m－3 m＋2|10＝ |m－3 ＋2|＝ |( － )2－ |.12m12m3214∵m∈(1,4)，∴當 ＝ 時，S△ABC 有最大值，此時 m＝ .故選 B. m3294【變式訓(xùn)練】 【變式訓(xùn)練】如圖所示，設(shè)點 ， 是 的兩 1 F 2 F2 21 3 2x y ? ?個焦點，過 的直線與橢圓相交于 兩點，求△ 2 F A、B的面積的最大值，并求出此時直線的方程。 1 F AB分析： 分

6、析： ，設(shè) ，1 2 1 1 2 F F B F AB F F A S S S ? ? A A A 1 1 ( , ) A x y 2 2 ( , ) B x y，則1 1 2 1 2 1 21 | | | | | | ( 1) 2 F AB F F y y y y c S ? ? ? ? ?? A ?設(shè)直線 的方程為 代入橢圓方程得 AB 1 x ky ? ? 2 2 (2 3) 4 4 0 k y ky ? ? ? ?1 2 1 2

7、 2 24 4 , 2 3 2 3k y y y y k k? ? ? ? ?? ? ?即21 2 2224 3( 1) 4 3 | | 1 2 3 2 11k y yk kk? ?? ?? ? ??令 ，∴ ， （ ）利用均值不等式不能區(qū)取 2 1 1 t k ? ? ?14 31 2F ABt tS?? A1 2t t ? 1 t ?“＝”∴利用 （ ）的單調(diào)性易得在 時取最小值 1 ( ) 2 f t t t ? ? 1 t ?

8、1 t ?在 即 時取最大值為 ，此時直線 的方程為1 F AB SA 1 t ? 0 k ? 4 33 AB 1 x ?3【 的最小值】 的最小值】其中，點 A 為曲線 C（橢圓，雙曲線或拋物線）內(nèi)一定點（異于焦 1 PA PF e ?點），P 是曲線 C 上的一個動點，F(xiàn) 是曲線 C 的一個焦點，e 是曲線 C 的離心率?！镜湫屠} 1】 已知雙曲線 C： 內(nèi)有一點 A（7，3），F(xiàn) 是雙曲線 C 的左焦點，P 為2 21 9 16