第一課 有限元基本理論及軟件介紹(西交大)

1、有限元方法及CAE軟件,劉恒hengliu@mail.xjtu.edu.cn,由NordriDesign提供www.nordridesign.com,課程安排,西安交通大學研究生課程教學計劃進度表課程代碼：012183 課程名稱：有限元方法及CAE軟件 總學分：4 學時：80 開課季節(jié)：秋上,考試安排,平時成績占總成績40%1次大作業(yè)閉卷考試占總成績60%1、填空；2、

2、選擇；3、問答題交流群：西安交大有限元2016群號： 581365633,參考書目,先修課：材料力學、彈性力學、振動力學、計算方法。參考書目：R. D. 庫克，有限元分析的概念和應用，程耿東等譯，北京：科學出版社，1989王勛成，邵敏，有限單元法基本原理和數(shù)值方法，北京：清華大學出版社，1995李人憲.有限元法基礎. 北京：國防工業(yè)出版社，2004，ISBN 7-118-03562-9/TB138美國ANSY

3、S公司北京辦事處，ANSYS入門手冊，1998美國ANSYS公司北京辦事處，ANSYS結構分析指南，1998美國ANSYS公司北京辦事處，ANSYS熱分析指南，1998美國ANSYS公司北京辦事處，ANSYS動力學分析指南，1998美國ANSYS公司北京辦事處，ANSYS非線性分析指南，1998美國ANSYS公司北京辦事處，ANSYS耦合場分析指南，1998美國ANSYS公司北京辦事處，ANSYS高級分析技術指南，1998,

4、有限元網(wǎng)絡資源,http://www.engineeringzones.com - A website created to educate people in the latest engineering technologies, manufacturing techniques and software tools. Exellent FEM links, including links to all commercial pro

5、viders of FEM software. http://www.comco.com/feaworld/feaworld.html - Extensive FEM links, categorized by analysis type (mechanical, fluids, electromagnetic, etc.) http://femur.wpi.edu - Extensive collection of eleme

6、ntary and advanced material relating to the FEM. http://www.engr.usask.ca/%7Emacphed/finite/fe_resources/fe_resources.html - Lists many public domain and shareware programs. http://sog1.me.qub.ac.uk/dermot/ferg/ferg.

7、html#Finite - Home page of the the Finite Element Research Group at The Queen's University of Belfast. Excellent set of FEM links. http://www.tenlinks.com/cae/ - Hundreds of links to useful and interesting CAE cite

8、d, including FEM, CAE, free software, and career information.http://www.geocities.com/SiliconValley/5978/fea.html - Extensive FEM links. http://www.nafems.org/ - National Agency for Finite Element Methods and Standar

9、ds (NAFEMS).,幾點建議,作為大型有限元分析軟件，ANSYS相當難學: 一、需要學習者有比較扎實的力學理論基礎，對ANSYS分析結果能有個比較準確的預測和判斷，可以說，理論水平的高低在很大程度上決定了ANSYS使用水平； 二、需要學習者不斷摸索出軟件的使用經(jīng)驗不斷總結以提高解決問題的效率。幾點建議：（1）將ANSYS的學習緊密與工程力學專業(yè)結合起來；（2）多問多思考多積累經(jīng)驗（一是要多

10、問但不要不懂就問；二是要有耐心，不要郁悶，多思考；三是注意積累經(jīng)驗，不斷總結經(jīng)驗）；（3）練習使用ANSYS最好直接找力學專業(yè)書后的習題來做（三點）；（ 4 ）保持帶著問題去看ANSYS是怎樣處理相關問題的良好習慣；（ 5 ）熟悉GUI操作之后再來使用命令流。,第一講 有限元方法概述,引言,偏微分方程,偏微分方程的解,有限元分析的實例,有限元基礎知識,有限元中數(shù)學原理,各種有限元軟件,引言——各門力學學科分支間的關系,中學力學對

11、象；質(zhì)點特征；無變形 無形狀變量： 1）質(zhì)點描述質(zhì)心 2）運動狀態(tài)描述 3）力平衡描述方程： 質(zhì)點牛頓三定律求解：積分方法,理論力學對象；質(zhì)點及剛體特征；無變形 形狀復雜的體變量： 1)剛體描述—轉(zhuǎn)動 2)運動狀態(tài)描述 3)力平衡描述方程： 質(zhì)點和剛體的牛頓三定律求解：積分方法,材料力學

12、對象；簡單變形體特征；變形小 簡單形狀的體變量： 1）材料物性描述 2）變形方面描述 3）力的平衡描述方程： 1）物理本構方程 2）幾何變形方程 3）力的平衡方程三大變量—三大方程求解：簡化求解方法,結構力學對象；簡單多變形體特征；變形小 簡單形狀的多體變量： 1）材料物性描述 2）變形方面描述 3）力的平

13、衡描述方程： 1）物理本構方程 2）幾何變形方程 3）力的平衡方程三大變量—三大方程求解：簡化求解方法,彈性力學對象；任意變形體特征；變形小 任意形狀的體變量： 1）材料物性描述 2）變形方面描述 3）力的平衡描述方程(微體dxdydz): 1）物理本構方程 2）幾何變形方程 3）力的平衡方程三大變量—三大方程求解:

14、解析半解析法,彈塑性力學對象；任意變形體特征；變形(屈服) 任意形狀的體變量：1)材料彈塑物性描述2)變形方面描述3)力的平衡描述方程(微體dxdydz): 1）物理本構方程 (屈服、非線性) 2）幾何變形方程 3）力的平衡方程三大變量—三大方程求解:解析半解析法,非變形體（剛體）,變形體,引言——變形體及其受力情況的描述,基本變量：

15、 u ? ? ==》 ui ?ij ?ij (位移) (應變) (應力) (如研究xyz三個方向，對應張量描述)基本方程： 1）材料方面 2）幾何方面 3）力平衡方面求解方法： 1）經(jīng)典解析方法 2）半解析方法 3）傳統(tǒng)

16、數(shù)值求解方法 4）現(xiàn)代數(shù)值求解(規(guī)范化、標準化、規(guī)?；⒂嬎銠C化),三大類變量,三大類方程,,引言——有限元的思路和發(fā)展過程,思路：以計算機為工具，分析任意變形體以獲得所有力學信息。,技術路線：標準化 (任意復雜問題理論研究==》標準化分解，單元建模-》有限種標準單元)規(guī)范化(前處理：CAD幾何、力學建模、求解、后處理結果顯示)計算機化(標準程序、模塊)應用規(guī)?；⑵占盎?可求解大型問題：10的8次到11次DOF),

17、有限種類標準件,構造任意復雜對象,,目前常用的計算方法包括第一原理從頭計算法、分子動力學方法，蒙特卡洛方法，有限元分析等。,引言——計算仿真的幾個層次,引言——有限元的思路和發(fā)展過程,發(fā)展過程：,工程師，boeing公司Turner、Clough分析飛機結構(采用自然離散)1960，Clough處理平面連續(xù)彈性問題，提出“有限單元法”名稱1956- ，Argyris(Univ. of Stuttgart)，Zienkie

18、wicz(英國Swansan大學)，Topp等學者的大量理論及應用工作,連續(xù)體,離散體,自然離散(桁架),逼近離散(連續(xù)體),,,,數(shù)學家1943，Courant研究分片連續(xù)與最小勢能問題1963-1964，Besseling,Melosh,Jones研究FEM與Ritz法的關系及變分原理1951- 至今，我國湖海昌、馮康、匡振邦。。。。,在尋找連續(xù)系統(tǒng)求解方法的過程中，工程師和數(shù)學家從兩種不同的路線得到,了相同的結果，即有限元

19、法。,有限元法的形成可以回顧到二十世紀50年代，來源于固體力學中矩陣結構法,的發(fā)展和工程師對結構相似性的直覺判斷。從固體力學的角度來看，桁架結,構等標準離散系統(tǒng)與人為分割成有限個分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在結構上存在相似,性。,1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在紐約舉行的航空,學會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應力問,題。他們把結構劃分成一個個三角形和矩形

20、的“單元”，利用單元中近似位,移函數(shù)，求得單元節(jié)點力與節(jié)點位移關系的單元剛度矩陣。,1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結構分,析論文。,1960 年 ， Clough 在 他 的 名 為 “ The finite element in plane stress,analysis”的論文中首次提出了有限元（finite element）這一術語。,引言——有限元的思路和發(fā)展過程,數(shù)學家們則發(fā)展

21、了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變,分原理和加權余量法。,在1963年前后，經(jīng)過J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones,,R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞學磺）等許多人的工作，認識到有,限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不,同變分原理導出的有限元計算公式。,1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成,變分形式

22、的所有場問題，都可以用與固體力學有限元法的相同步,驟求解。,1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指 出 可 以 用 加 權 余 量 法 特 別 是,Galerkin法，導出標準的有限元過程來求解非結構問題。,引言——有限元的思路和發(fā)展過程,我國的力學工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻，其,中比較著名的有：陳伯屏（結構矩陣方法），錢令希（余能原,理），錢偉長（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮,康（有限單

23、元法理論）。遺憾的是，從1966年開始的近十年期間，,我國的研究工作受到阻礙。,有限元法不僅能應用于結構分析，還能解決歸結為場問題的工程,問題，從二十世紀六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發(fā),展，為工程設計和優(yōu)化提供了有力的工具。,有限元法是一種數(shù)值計算方法?？蓮V泛應用于各種微分方程描述,的場問題的求解。,引言——有限元的思路和發(fā)展過程,有限元法分析計算的基本思想,對象離散化,單元特性分析,—,—,—,選擇變量分布模式,分析單元的特

24、性,計算等效節(jié)點載荷,單元組集,求解未知節(jié)點變量,引言——彈性力學（線彈性有限元基礎）,物體離散化,將某個工程結構離散為由各種單元組成的計算模型，,這一步稱作單元剖分。,離散后單元于單元之間利用單元的節(jié)點相互連接起來；,單元節(jié)點的設置、性質(zhì)、數(shù)目等應視問題的性質(zhì)，描,述變形形態(tài)的需要和計算進度而定。,用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。如果劃,分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲 得的結果就與實,際情況相符合。,引言——彈性力學（線彈性

25、有限元基礎）,分析單元的特性,根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置,及其含義等，找出單元節(jié)點載荷和節(jié)點變量的關系式，,建立節(jié)點變量值與單元內(nèi)任意點變量之間關系，等等，,這是單元分析中的關鍵一步。,如應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建立力和,位移的方程式，從而導出單元剛度矩陣，這是有限元,法的基本步驟之一。,引言——彈性力學（線彈性有限元基礎）,計算等效節(jié)點載荷,物體離散化后，假定力是通過節(jié)點從一個單元 傳,遞到另一個單元。

26、但是，對于實際的連續(xù)體，力是,從單元的公共邊傳遞到另一個單元中去的。因而，,這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力,都需要等效的移到節(jié)點上去，也就是用等效的節(jié)點,力來代 替所有作用在單元上得力。,引言——彈性力學（線彈性有限元基礎）,單元組集（組裝）,利用結構力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來,的結構重新連接起來，形成整體的有限元方程,求解未知節(jié)點變量,可以根據(jù)方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。,引言——彈性力學（線彈性有

27、限元基礎）,引言——彈性力學（線彈性有限元基礎）,研究對象：任意變形體——物體內(nèi)任意兩點之間可以發(fā)生相對運動。,基本變量,基本方程,,,任意變形體,主位移,應變,應力,物體變形后的形狀,物體的變形程度,物體的受力狀態(tài),幾何方程,物理方程,平衡方程,,,,,彈模,,,,,,,,引言——線彈性的五個基本假設,1）物體內(nèi)的物質(zhì)連續(xù)性假設：物質(zhì)無空隙，可用連續(xù)函數(shù)描述；2）物體內(nèi)的物質(zhì)均勻性假設：物體內(nèi)各個位置的物質(zhì)具有相同特性3）物體

28、內(nèi)的（力學）特性各向同性假設：物體內(nèi)同一位置的物質(zhì)在各個方向上具有相同特性； 4）線性彈性假設：物體的變形與外力作用關系是線性的，外力去除后物體可恢復原狀；5）小變形假設：物體變形遠小于物體的幾何尺寸，在建立方程時可略去高階小量（二階以上） 。,引言——求解彈性力學問題的主要方法和特點比較,偏微分方程,科學技術領域內(nèi)，對于絕大部分問題，人,們已經(jīng)得到了它們應遵循的基本方程（偏微分,方程或常微分方程）。,如：溫度場方程（濃度場方程

29、）,流場動力學方程,電磁場方程,固體力學方程,………..,偏微分方程——溫度場方程,偏微分方程——溫度場方程,傅里葉傳熱定律：q = ?kgradφ,熱傳導方程：ρ c,?φ,? ? ?φ ? ? ? ?φ ? ? ? ?φ ?,=,? k y,? + ? kz,? kx,? +,? + ρQ （在 Ω 內(nèi)）,?t ?x ? ?x ? ?y ? ?y ? ?z ? ?z ?,（在 Γ1 上）,邊界

30、條件：,φ = φ,kx,?φ,?φ,?φ,nx + k y,ny + kz,nz = q,?x,?y,?z,（在 Γ2 上）,kx,?φ,?φ,?φ,nx + k y,ny + kz,nz = h(φa ? φ ) （在 Γ3 上）,?x,?y,?z,偏微分方程——溫度場方程,偏微分方程——固體力學方程,偏微分方程——固體力學方程,偏微分方程——固體力學方程,偏微分方程——電磁場方程,偏微分方程——電磁場方程,偏微分方程——分類及特點

31、,偏微分方程——分類及特點,偏微分方程——分類及特點,偏微分方程——分類及特點,邊值問題與初值問題,描述物理現(xiàn)象的偏微分方程常常與其邊,界條件或初始條件聯(lián)系在一起。,平衡方程:,?σij,?xj,+ρbi =0,幾何方程:,場方程（控制方程）,本構方程:,1??ui ?uj ?,Dij = ? + ?,2? ?xj ?xi ?,ep,?,σij =CijklDkl,偏微分方程的求解,Su,邊界條件,V,Sp,問題的域 V 和

32、邊界 S,應力邊界條件:,運動學邊界條件:,σ ji n j = pi,ui = ui,或,(在 Sp 上),ui = ui,(在 Su 上),偏微分方程的求解,邊值問題,? A1 (u) ?,?,?,A(u) = ? A2 (u)? = 0,?,?,?,?,? B1 (u) ?,?,?,B(u) = ?B2 (u)? = 0,?,?,?,?,（在域 V 內(nèi)）,（在邊界 S 上）,域 V 和邊界 S（S=Su+Sp）,界,微分方程的

33、等效積分形式,∫V,VT A(u)dV + ∫ VT B(u)dS = 0,S,偏微分方程的求解,（一）解析法,解析方法是直接應用現(xiàn)有的數(shù)學理,論和定律去推導和演繹數(shù)學方程（或模,型），得到用函數(shù)形式表示的解，也就,是解析解。,偏微分方程的求解,優(yōu)點：是物理概念及邏輯推理清楚，解的函數(shù),表達式能夠清楚地表達溫度場的各種影響因素，,有利于直觀分析各參數(shù)變化對溫度高低的影響。,缺點：通常需要采用多種簡化假設，而這些假,設往往并不適合實際情況

34、，這就使解的精確程,度受到不同程度的影響。目前，只有簡單的一,維溫度場（“半無限大”平板、圓柱體、球體）,才可能獲得解析解。,偏微分方程的求解,（二）數(shù)值方法,數(shù)值方法又叫數(shù)值分析法，是用計算機程序,來求解數(shù)學模型的近似解，又稱為數(shù)值模擬,或計算機模擬。,偏微分方程的求解,1.差分法,差分法是把原來求解物體內(nèi)隨空間、時間連續(xù)分布,的場量，轉(zhuǎn)化為求在時間領域和空間領域內(nèi)有限個,離散點的變量值問題，再用這些離散點上的變量值,去逼近連續(xù)的變量

35、分布。,差分法的解題基礎是用差商來代替微商，這樣就將,偏微分微分方程轉(zhuǎn)換為以節(jié)點變量為未知量的線性,代數(shù)方程組，得到各節(jié)點的數(shù)值解。,根據(jù)不同的差分格式分為：向前差分、向后差分、,平均差分、中心差分、加列金格式等。,偏微分方程的求解,2.有限元法,有限元法是根據(jù)變分原理來求解偏微分方程,的一種數(shù)值計算方法。有限元法的解題步驟是先,將連續(xù)求解域分割為有限個單元組成的離散化模,型，再用變分原理等數(shù)學方法將各單元內(nèi)的偏微,分方程轉(zhuǎn)化為等價的線

36、性方程組，最后求解全域,內(nèi)的總體合成矩陣。,偏微分方程的求解,數(shù)值計算方法分類,特 點,差分法,等效積分法,（加權余量法或,優(yōu)缺點,離散求解域；差分代替微分；解 要求規(guī)則邊界，幾何形,代數(shù)方程組,狀復雜時精度低,整體場函數(shù)用近似函數(shù)代替；微 適合簡單問題，復雜問,分方程及定解條件的等效積分轉(zhuǎn) 題很難解決,化為某個泛函的變分，--求極值,問題,離散求解域；分片連續(xù)函數(shù)近似 節(jié)點可任意配置，邊界,整體未知場函數(shù)；解線形方程組 適應性好；適應

37、任意支,撐條件和載荷；計算精,度與網(wǎng)格疏密和單元形,態(tài)有關，精度可控,泛函變分法）,有限元法,偏微分方程的求解,數(shù)值模擬方法的優(yōu)越性,經(jīng)濟、快速、優(yōu)化、并行,結果詳盡,□ 應力 應變,溫度,□ 組織性能變化,虛擬、靈活,偏微分方程的求解,有限元分析實例,A380,飛機有限元模型,重型燃氣輪機轉(zhuǎn)子模型,有限元分析實例,新加坡國立大學工程系入口,有限元分析實例,有限元分析實例,有限元分析實例,有限元分析實例,0.2 ° - 1.5

38、 ° resolution (16000 surface nodes)23 z-levels ( 220000 3D nodes),3D view of the North Atlantic mesh,有限元分析實例,有限元方法的基礎知識,數(shù)學：求解微分方程，特別是橢圓型邊值問題的一種離散化方,法，其基礎是變分原理和剖分逼近,力學：一種將連續(xù)體離散化，以求解各種力學問題的數(shù)值方法,土

39、木工程：把物體或結構整體所具有的域(V)劃分為有限多個被,稱為單元的子域(Vn)，以求得近似解的一種數(shù)值計算方法,機械工程：對機械零件或構件等作應力分析的一種離散數(shù)值方,法,航空、航天工程：將結構用網(wǎng)格劃分為計算模型的一種結構數(shù),值分析方法,不同學科和工程類別從各自特有學術角度對有限元給出,相應的不同定義，但有一條是共同的，即都認為有限元,法是有效的數(shù)值分析方法。,學習有限元所需的理論基礎,學科理論：理論力學、材料力學、結構力學、彈性力

40、學、,流體力學、傳熱學等等。根據(jù)所要解決問題的不同，應具,備不同的專門知識。,數(shù)學基礎：線性代數(shù)、變分原理、加權余量法等等,計算機基礎：計算機的一般知識，算法語言，計算機的使,用和編程。,這些知識有些我們已經(jīng)掌握，有些則還沒有。但,是不能等全部掌握了所有這些知識再來學習有限,元法，只有再學習過程中逐漸掌握。好在有限元,法可以在不同的層次上理解和應用。,有限元方法的基礎知識,基本特點,以簡單逼近復雜,概念清楚，容易理解,矩陣數(shù)學 便于編程

41、和計算機求解,適用于形狀復雜問題,適應性強，應用范圍廣泛,有限元方法的基礎知識,基本特點,適應性強,彈性力學平面問題擴展到了空間問題、板殼,問題；,靜力平衡問題擴展到了動態(tài)問題；,固態(tài)力學擴展到了流體力學、傳熱學；,彈性材料問題擴展到了彈塑性、塑性、粘彈,性和復合材料問題；,航空工程問題擴展到了宇航、土木建筑、機,械制造、水利工程及原子能學科等方面的問,題。,有限元方法的基礎知識,特點,缺點：,必須首先編制（或具備）計算機程序，必須運,

42、用計算機求解。,計算前的數(shù)據(jù)準備，計算結果的數(shù)據(jù)整理分析,工作量很大,然而，計算機日益普及和功能日益強大，可以,通過計算機進行有限元分析的前、后處理來大,大幫助減少工作量。,有限元方法的基礎知識,基本步驟,1，求解區(qū)域離散化,2，選擇插值函數(shù),3，分析單元特性,4，組建整體剛度矩陣,5，求解系統(tǒng)的總體方程組,6，根據(jù)需要進行附加計算,基本思想,化整為零,積零為整,有限元方法的基礎知識,基本思想,先將求解域離散為有限個單元，單元與單元只在

43、節(jié)點,相互連接；----即原始連續(xù)求解域用有限個單元的集,合近似代替,對每個單元選擇一個簡單的場函數(shù)近似表示真實場函,數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點上物,理量來表示----通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù),基于問題的基本方程，建立單元節(jié)點的平衡方程（即,單元剛度方程）,借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成整體,的剛度方程，這是一組以節(jié)點物理量為未知量的線形,方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。,有限元方法的基礎知識,基本思

44、想,節(jié)點,vm,m(xm ym ),um,v j,u,j,vi,單元,ui,j(x j y j ),y,i( xi yi ),x,有限元方法的基礎知識,?基本概念,結構離散（有限元建模）,內(nèi)容：1）網(wǎng)格劃分,---即把結構按一定規(guī)則分割成有限單元,2）邊界處理,---即把作用于結構邊界上約束和載荷處 為節(jié)點,約束和節(jié)點載荷,要求：1）離散結構必須與原始結構保形,----單元的幾何特性,2）一個單元內(nèi)的物理特性必須相同,----單元的

45、物理 特性,有限元方法的基礎知識,單元：即原始結構離散,后，滿足 定幾何特性,和物理特性的最小結構,域,節(jié)點：單元與單元間的,連接點。,節(jié)點力：單元與單元間,通過節(jié)點的相互作用力,節(jié)點載荷：作用于節(jié)點,上的外載。,?基本概念,單元與節(jié)點,注意：,1)節(jié)點是有限元法的重要概念，,有限元模型中，相鄰單元的作用,通過節(jié)點傳遞，而單元邊界不傳,遞力，這是離散結構與實際結構,的重大差別；,2）節(jié)點力與節(jié)點載荷的差別,有限元方法的基礎知識,?基本

46、概念,非法結構離散,節(jié)點不合法,不同材料,有限元方法的基礎知識,單元類型,單元圖形,節(jié)點數(shù),桿單元,梁單元,典,型,單,元,類,型,平面單元,2,2,3,4,3,4,4,平面四邊形,軸對稱問題,板殼單元,四面體單元,?基本概念,插值函數(shù)（或位移函數(shù)）,用以表示單元內(nèi)物理量變化（如位移或位移場）的近,似函數(shù)。由于該近似函數(shù)常由單元節(jié)點物理量值插值,構成，故稱為插值函數(shù)，如單元內(nèi)物理量為位移，則,該函數(shù)稱為位移函數(shù)。,選擇位移函數(shù)的一般原則

47、：,1）位移函數(shù)在單元節(jié)點的值應等于節(jié)點位移（即單元內(nèi)部是連,續(xù)的）；,2）所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實解。,注：為了便于微積分運算，位移函數(shù)一般采用多項式形式，在,單元內(nèi)選取適當階次的多項式可得到與真實解接近的近似解,有限元方法的基礎知識,?基本概念,位移函數(shù)的構造方法,廣義坐標法,一維單元位移函數(shù)：,u(x) =α0 +α1x +α1x2 + ...αn xn,簡記為,u(x) = Φα,αi 為待定系數(shù)，也稱為廣 Φ

48、 ={1 x x2 ... xn},義坐標,T,α = {α0 α1 α2 ... αn},有限元方法的基礎知識,?基本概念,位移函數(shù)的構造方法,插值函數(shù)法 即將位移函數(shù)表示為各個節(jié)點位移與已知插值,基函數(shù)積的和。,如一維單元,u(x) = N1 ( x)u1 + N2 ( x)u2 + ...,= ∑ Ni ( x)ui,n,1,二維單元,注：Ni可為Lagrange、,Hamiton多項式或形函,數(shù)，在+1~-1

49、,間變化,u(x, y) = ∑ Niui,1,n,v(x, y) = ∑ Nivi,1,n,有限元方法的基礎知識,?基本概念,有限元法的收斂準則,影響有限元解的誤差：1）離散誤差 2）位移函數(shù)誤差,收斂準則：,1）位移函數(shù)必須包括常量應變（即線形項）,2）位移函數(shù)必須包括單元的剛性位移（即常量項）；,3）位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)（連續(xù)性條件）；,4）位移函數(shù)應使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（協(xié)調(diào)性條件）；,注：上述四個條件稱為有限元解收斂

50、于真實解的充分條件；前三,個條件稱為必要條件。滿足四個條件的位移函數(shù)構成的單元稱,為協(xié)調(diào)元；滿足前三個條件的單元稱為非協(xié)調(diào)元；滿足前兩個,條件的單元稱為完備元。,有限元方法的基礎知識,?基本概念,新型單元的研究,1、面向特性材料（如復合材料）的單元位移模式研究,2、面向幾何設計的新型單元（如超單元）的研究,幾個熱點問題,面向物理問題的有限元建模,如有限元建模專家系統(tǒng)、決策支持系統(tǒng)、網(wǎng)格劃分算,法等,有限元法計算速度的研究,如并行計算等,

51、結構優(yōu)化,有限元方法的基礎知識,有限元分析 (FEA),有限元分析是利用數(shù)學近似的方法對真實物理系統(tǒng),（幾何和載荷工況）進行模擬。還利用簡單而又相,互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知,量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。,歷史典故,? 結構分析的有限元方法是由一批學術界和工業(yè)界的研究,者在二十世紀五十年代到二十世紀六十年代創(chuàng)立的。,? 有限元分析理論已有100多年的歷史，是懸索橋和蒸汽鍋,爐進行手算評核的基礎。,有限元方法的基礎知識

52、,物理系統(tǒng)舉例,幾何體,載荷,物理系統(tǒng),結構,熱,電磁,有限元模型,有限元模型 是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象。,真實系統(tǒng),有限元模型,自由度（DOF ）,自由度(DOFs) 用于描述一個物理場的響應特性。,UY,ROTY,方向,結構,熱,電,流體,磁,自由度,位移,溫度,電位,壓力,磁位,ROTZ,UZ,UX,ROTX,結構 DOFs,節(jié)點和單元,載荷,節(jié)點: 空間中的坐標位置，具有一定自由度和,存在相互物理作用。,單元:,一組節(jié)點自由度

53、間相互作用的數(shù)值、矩陣,描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、,面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。,載荷,有限元模型由 些簡單形狀的,單元組成，單元之間通過節(jié)點連,接，并承受一定載荷。,節(jié)點和單元 (續(xù)),每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。,作為一個整體，單元形成了整體結構的數(shù)學模型。,盡管梯子的有限元模型低于100個方程（即“自由度”,），然而在今天一個小的 ANSYS分析就可能有5000個,未知量，矩陣可能有25，00

54、0，000個剛度系數(shù)。,歷史典故,早期 ANSYS是隨計算機硬件而發(fā)展壯大的。ANSYS最早是,在1970年發(fā)布的，運行在價格為＄1，000，000的CDC、,由Univac和IBM生產(chǎn)的計算機上，它們的處理能力遠遠落,后于今天的PC機。一臺奔騰PC機在幾分鐘內(nèi)可求解,5000×5000的矩陣系統(tǒng)，而過去則需要幾天時間。,節(jié)點和單元 (續(xù)),信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的。,2 nodes,.,A,.,.,.,.,B,1

55、node,.,.,.,A,.,.,B,具有公共節(jié)點的單元,之間存在信息傳遞,.,.,.,.,分離但節(jié)點重疊的單元,A和B之間沒有信息傳遞,（需進行節(jié)點合并處理）,節(jié)點和單元 (續(xù)),節(jié)點自由度是隨連接該節(jié)點 單元類型 變化的,J,三維桿單元 (鉸接),UX, UY, UZ,I,L,K,二維或軸對稱實體單元,UX, UY,I,I,P,M,L,I,N,K,J,I,J,O,P,三維實體結構單元,UX, UY, UZ,M,L,N,K,J,I,L

56、,K,J,三維四邊形殼單元,UX, UY, UZ,,ROTX, ROTY, ROTZ,O,三維實體熱單元,TEMP,J,三維梁單元,UX, UY, UZ,,ROTX, ROTY, ROTZ,單元形函數(shù),?FEA僅僅求解節(jié)點處的DOF值。,?單元形函數(shù)是一種數(shù)學函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點DOF值,到單元內(nèi)所有點處DOF值的計算方法。,?因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內(nèi)部結果,的“形狀”。,?單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性,。,?單

57、元形函數(shù)與真實工作特性吻合好壞程度直接影,響求解精度。,單元形函數(shù)(續(xù)),二次曲線的線性近,(不理想結果),DOF值二次分布,真實的二次曲線,.,1,節(jié)點,單元,線性近似,(更理想的結果),.,2,真實的二次曲線,.,節(jié)點,單元,.,二次近似 (接近于真實的二次近似擬合),(最理想結果),.. . . .,3,節(jié)點,單元,.,4,節(jié)點,單元,.,單元形函數(shù)(續(xù)),遵循:,? DOF值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點處的真實解，但單,

58、元內(nèi)的平均值與實際情況吻合得很好。,? 這些平均意義上的典型解是從單元DOFs推導出來的（如 結,構應力，熱梯度）。,? 如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的DOFs，就不能很好,地得到導出數(shù)據(jù)，因為這些導出數(shù)據(jù)是通過單元形函數(shù)推導,出來的。,單元形函數(shù)(續(xù)),遵循原則:,?當選擇了某種單元類型時，也就十分,確定地選擇并接受該種單元類型所假,定的單元形函數(shù)。,?在選定單元類型并隨之確定了形函數(shù),的情況下，必須確保分析時有足夠數(shù),量的單元

59、和節(jié)點來精確描述所要求解,的問題。,加權余量法,變分法,法,里茲法,約束變分原理,有限元方法的數(shù)學原理,變分法,泛函,∏ = ∫ F(u,,V,?u,?u,, )dV + ∫ E(u, , )dS,S,?x,?x,其中 u 是未知函數(shù)，F(xiàn) 和 E 是特定的算子，V 是求解域，S 是 V 的邊界。,泛函 取駐值的條件是，對于微小變化,∏ δ u ，泛

60、函的“變分”等于零,δ ∏ = 0,有限元方法的數(shù)學原理,加權余量法,近似解,~,u = u = ∑Ni ai = Na,i=1,n,其中,ai 是待定參數(shù)；Ni 是形函數(shù)。,令余量的加權積分為 0,∫V,WT A(Na)dV + ∫ WT B(Na)dS = 0,j,j,S,( j = 1 ~ n),有限元方法的數(shù)學原理,里茲法,~,u = u = ∑Ni ai =Na,i=1,n,? ∏,? ∏,δ ∏ =,δa1 +,δa2 +,

61、?a1,?a2,? ∏,+,δan = 0,?an,? ? ∏ ?,? ?a ?,? 1 ?,? ∏ ?,? ∏ ?,?,= ? ?a2 ? = 0,?a ?,?,? ? ∏ ?,?,?,?an ?,?,?,?,有限元方法的數(shù)學原理,關于里茲法的幾點討論,收斂性,（1）完備性：試探函數(shù) Ni（i=1～n）應取自完全函數(shù)系列。,（2）協(xié)調(diào)性： Ni（i=1～n）應滿足 Cm-1 連續(xù)性要求。,應用中的困難,（1）在

62、求解域比較復雜時，難以選取滿足邊界條件的試探函數(shù)。,（2）為了提高近似解的精度 需要增加待定參數(shù)和試探函數(shù)的項數(shù),有限元方法的數(shù)學原理,加權余量法示例（虛功原理）,平衡方程和力邊界條件：σ ij, j + ρbi = 0,（在 V 內(nèi)）,（在 Sp 上）,σ ij n j ? pi = 0,等效積分形式：,∫V δui (σ ij, j + ρbi )dV ? ∫S,V,δui (σ ij n j ? pi )dS = 0,p,∫V,

63、得：,或,δuiσ ij, j dV = ?∫,V,1,δui, j + δu j,i σ ij dV + ∫ δuiσ ij n j dS,S p,2,S p,(,),= ?∫ δε ijσ ij dV + ∫ δuiσ ij n j dS,∫V (?δε ijσ ij + δui ρbi )dV + ∫S,∫ σ,V,ij,V,δui pi dS = 0,p,δε ij dV = ∫ ρbiδui dV +∫ piδui dS,S

64、p,有限元方法的數(shù)學原理,線彈性力學的最小位能原理,代入：σij = Cijklεkl,e,∫V,e,(δεijCijklεkl ?δui ρbi )dV ? ∫ δui pidS = 0,Sp,令：δεijCijklεkl = δ? Cijklεijεkl ? = δU(εmn) ， ?δφ(ui ) = ρbiδui , ?δψ(ui ) = piδui,e,e,? 1,? 2,?,?,于是：,δ ∏p = 0,其中：∏p = ∏p

65、 (εij ,ui ) = [U(εij ) +φ(ui )]dV +,∫V,∫S ψ(ui )dS,p,? 1 e,?,= ∫ ? Cijklεijεkl ? ρbiui ?dV ? ∫ piuidS,V ? 2,Sp,?,有限元方法的數(shù)學原理,約束變分原理,考慮附加的約束關系C(u) = 0,1．拉格朗日乘子法,T,∏* = ∏ +∫ λ C(u)dV,V,2．罰函數(shù)法,∏** = ∏ +α ∫ V CT (u)C(u)dV,有限元

66、方法的數(shù)學原理,隨著數(shù)值分析方法的逐步完善，尤其是計算機運算速,度的飛速發(fā)展，整個計算系統(tǒng)用于求解運算的時間越,來越少，而數(shù)據(jù)準備和運算結果的表現(xiàn)問題卻日益突,出,在現(xiàn)在的工程工作站上，求解一個包含10萬個方程的有,限元模型只需要用幾十分鐘。工程師在分析計算一個,工程問題時有80%以上的精力都花在數(shù)據(jù)準備和結果,分析上。,增強可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能,各種有限元軟件——發(fā)展現(xiàn)狀,增強可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能,目前幾乎

67、所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功,能很強的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。使用,戶能以可視圖形方式直觀快速地進行網(wǎng)格自動,劃分，生成有限元分析所需數(shù)據(jù)，并按要求將,大量的計算結果整理成變形圖、等值分布云圖，,便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。,各種有限元軟件——發(fā)展現(xiàn)狀,與CAD軟件的無縫集成,當今有限元分析系統(tǒng)的另一個特點是與通用CAD軟件,的集成使用， 即：在用CAD軟件完成部件和零件的造,型設計后，自動生成有限元網(wǎng)格并進行計算，如果

68、分,析的結果不符合設計要求則重新進行造型和計算，直,到滿意為止，從而極大地提高了設計水平和效率。當,今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開發(fā)了和著名的CAD,軟 件 （ 例 如 Pro/ENGINEER 、 Unigraphics 、,SolidEdge 、 SolidWorks 、 IDEAS 、 Bentley 和,AutoCAD等）的接口。,各種有限元軟件——發(fā)展現(xiàn)狀,失效分析階段設計驗證分析階段保證產(chǎn)品正常工作分析階段提