《風險理論》第1章_效用理論與保險

1、風險理論,教材： R.卡爾斯，M.胡法茲等《現(xiàn)代精算風險理論》，科學出版社，2005.參考書： 吳嵐，王燕:《風險理論》，財經(jīng)出版社，2006 肖爭艷:《風險理論》，人大，2008 鄒公明，范興華：《風險理論》，上海財大，2006,風險理論與保險精算概述,《風險理論》--準精算師考試科目,一、風險的概念,人們習慣用“風險”這個詞來表達可能發(fā)生的不利事件和各種災害。但是由于所面對的具體問題和環(huán)境的不同，每個人對風險這個概念

2、的理解和描述也各不相同。風險是“無法預知”或“未卜先知”的。,討論題,根據(jù)自身經(jīng)歷，對風險進行描述；2. 試想，如果人類能具備預知未來的能力，世界會是什么樣子？我們的生活又會是什么樣子？,二、風險的三要素,風險與三個因素直接有關(guān)：自然狀態(tài)的不確定性（人們不能預知的或無法控制的自然狀態(tài)—風險的客觀或外部原因）；人的主觀行為的不確定性（當事人或決策者的行為—風險的主觀或內(nèi)部原因）；兩者結(jié)合所蘊涵的潛在后果。,三、風險的保險學定

3、義,在保險學中，風險由兩部分構(gòu)成：潛在不利后果的嚴重程度如何；發(fā)生不利后果的可能性多大。風險被簡單地定義為“潛在損失的概率”。,四、保險業(yè)務分類壽險：以被保險人的生命為標的，以生死為事故。 壽險的保險期相對較長，損失分布的規(guī)律（生命表）也比較穩(wěn)定。非壽險：除了壽險以外的一切保險業(yè)務，如財物險、車輛險等。 非壽險多為短期保險，損失情況五花八門，損失分布規(guī)律也比較復雜。,五、保險精算的基本問題,精算學以現(xiàn)代數(shù)學

4、和統(tǒng)計學為基礎, 對保險經(jīng)營中的某些問題進行定量化的分析和研究, 為保險公司進行科學決策和提高管理水平提供依據(jù)和方法。 精算師要解決的幾個基本問題：（1）保費設計；（2）準備金評估；（3）再保險設計；（4）資產(chǎn)負債與償付能力管理。,中國精算師資格考試,中國精算師資格考試分為兩個層次，第一層次為準精算師資格考試，第二層次為精算師資格考試。準精算師考試目的在于考察考生對保險精算的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保險精算實務，考

5、試課程共設9門，均為必考課程。,準精算師資格考試科目,01數(shù)學基礎（Ⅰ）：微積分、線性代數(shù)、運籌學02數(shù)學基礎（Ⅱ）：概率論、數(shù)理統(tǒng)計、應用統(tǒng)計03復利數(shù)學04壽險精算數(shù)學05風險理論：損失分布、風險模型、效用理論06生命表基礎07壽險精算實務08非壽險精算數(shù)學與實務09綜合經(jīng)濟基礎,課程內(nèi)容,第一章 效用理論與保險第二章 個體風險模型第三章 聚合風險模型第四章 破產(chǎn)理論第五章 保費原理,第一章 效用理論與保險,

6、§1.1 引言,本書第二至第四章討論的個體風險模型、聚合風險模型和破產(chǎn)理論，無疑是分析和解決保險公司經(jīng)營管理中諸多關(guān)鍵問題如產(chǎn)品定價、準備金提留、再保險自留額安排等問題的基礎。然而這些討論都是基于對理賠風險的正確把握進行的，這僅是問題的一個方面。 本章是從另外的角度，也就是從決策者的主觀角度來討論風險決策問題，具體是從保險人或被保險人的偏好出發(fā)討論他們的風險態(tài)度。并用效用函數(shù)作為描述和度量決策者偏好和

7、風險態(tài)度的工具。,效用理論的幾個基本假設,風險態(tài)度：對待風險的態(tài)度可以分為三種：風險厭惡、風險偏好和風險中性。,例：我們有這樣的二種選擇：A：0.1%的機會得到10000元錢，99.9%的機會什么也得不到。B：100%的機會得到10元。選擇A？或B？,選擇A：偏好風險；選擇B ：厭惡風險,例：我們有這樣的二種選擇：A：0.1%的失去10000元錢，99.9%的機會不損失。B：100%的機會失去10元。選擇A？或B？,選擇B：

8、厭惡風險選擇A ：偏好風險,§1.2 期望效用模型,如果B 非常小，那么P幾乎不會大于0.01B；如果B略微大一點，如500，那么P就可能比5 稍大一些；如果B 非常大，那么P 就會比0.01B大很多。,結(jié)論：因為這么大的損失一但發(fā)生可能導致破產(chǎn)，因此可以付出比期望值高的費用為風險投保。,邊際效用遞減原理,,效用的概念是丹尼爾.伯努利在解釋圣彼得堡悖論時提出來的主要包括兩條原理：邊際效用遞減原理和最大期望效用原理。邊際

9、效用遞減原理：個人對所追求的商品和財富的滿足程度由其效用值衡量，且隨著其商品和財富的絕對數(shù)量的增加而增加，但增加的速率卻隨著其絕對數(shù)量的增加而逐漸降低。討論題：舉例說明上述原理的正確性。,邊際效用原理的主要涵義,最大期望效用原理,,,效用函數(shù)的確定,人們在做某個決策時，不自覺地使用這效益函數(shù)，因此效用函數(shù)是客觀存在的，但卻很難給出一個明確的解析式?？梢韵驔Q策人提出大量的問題，通過他們對這些問題的回答來決定該決策人的效用函數(shù)。如“

10、為了避免以概率q損失1個單位貨幣，你愿意支付多少保費P？”,效用函數(shù)的基本特征,,Jensen不等式的證明,根據(jù)Jensen 不等式確定保費,（1）被保險人方面：,（2）保險人方面：,成交！,,,在后面式子的兩邊同時取期望，得到,因此，風險X 的最大保費　　近似為,,,使用風險厭惡系數(shù) ，則對風險X 所需最大保費　　近似為由上式可見，均值-方差保費原理是合理的。,,將（1.13）與（1.14）代入（1.10），得到,,,,注意

11、到　　 用　　　　替換時，　 并沒有改變。從（1.18），我們可以看到風險厭惡系數(shù)真正反映了風險厭惡的程度：對風險厭惡程度越高，需要支付的保費也越大。,§1.3 效用函數(shù)族,線性效用函數(shù)的風險厭惡系數(shù)是 0；指數(shù)效用函數(shù)的風險厭惡系數(shù)是 ；其它效用函數(shù)的風險厭惡系數(shù)均可表示為 。,,,,,-,,,把 代入均衡方程（1.11）得,其中

12、 是X 的矩母函數(shù)， 代表風險厭惡系數(shù)。指數(shù)保費隨著 增加而增加，而與保險人當前的財富無關(guān)。更有意義的是， 被保險人的最大保費 的表達同 ，但是其使用的參數(shù) 會有所不同。,,矩母函數(shù),一、定義：設X為隨機變量，如果以下數(shù)學期望存在，則稱它為X的矩母函數(shù)，記為 。二、矩母函數(shù)的性質(zhì)（1）若隨機變量X的各階中心矩 存在，則（2）隨機變量

13、的期望值與方差和矩母函數(shù)具有下列關(guān)系上式中 稱為累積量母函數(shù)。（3）如果隨機變量X和Y相互獨立，則,常用分布的矩母函數(shù),,,,,,如果被保險人的效用函數(shù)是參數(shù)為 的指數(shù)效用函數(shù)，則最大保費為,例：假設損失X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布， 令 ，則,,,,,,因此被保險人愿意在純保費 之上附加相當數(shù)量的額外保費。,138.6>100（均值）,由

14、例1.2.4中的近似公式(1.18)得,顯然，近似表達式(1.22)隨 遞增。 如果X 是方差有限的非負隨機變量，則(1.20)所決定的保費也是隨 遞增的，具體證明如下。令,,由Jensen 不等式知,,取 則 且,,,對任意 ，通過對上述不等式兩邊取對數(shù)，得,,由此證明，指數(shù)保費隨著厭惡系數(shù)的增加而增加。特別地，在

15、 和 兩個極端情況，有,,由方程(1.10)，發(fā)生損失X 之后的期望效用為,以及支付保費P之后的效用為,,根據(jù)（1.10），（1.28）與（1.29）右端應當相等，由此求得最大保費為：,容易驗證， ，故保費將隨著財富的增加，且 。,例1.3.3（不可保的風險） 某決策者使用風險厭惡系數(shù)為 的指數(shù)效用函數(shù)，他想對分布為 的

16、風險進行投保，其中 表示參數(shù)為a, b的伽瑪分布．確定 并證明 ，何時 ，此時說明了什么？,,,,,,分布 的矩母函數(shù)為 ，,因為 , 我們有 .因而 所以，計算出的保費大于純保費。如果

17、 ，則 ，這表明決策者愿意支付任何有限的保費。按照效用理論，如果風險厭惡系數(shù)為 ，那么承保該風險的保險人對于任何有限的保費P，都會遭受損失，因為 。對于保險人來說，這種風險是不可保的。,,,,,,,,Allais悖論,考慮下面可能的資本收益很多人會選擇X,其實 ，由此可見期望效益并不總能反映決策者的行為。完全沒有風險的

18、狀態(tài)與期望效用指標相比，對決策著可能更有吸引力。,§1.4 停止損失再保險的最優(yōu)性,再保險合同通常只承保保險人的一部分風險。停止損失(再）保險承保損失超出指定免賠額 的超額部分。它的定義如下：如果發(fā)生的損失為X(我們假設 ) ， 則理賠支付 為,,對于停止損失保險，其純保費為 ，稱為停止損失保費，記為,,在離散情形， 為階梯函數(shù)，其在x 處的跳為

19、 ；在連續(xù)情形， 有導函數(shù) 兩種情形下的停止損失保費都可由下式給出,,,,,現(xiàn)在的問題是：對于保險人來說，應該對損失X設置多大的免賠額d？在再保險問題上，就是保險人應該預留多大的自留額？這是再保險的一個核心問題。,免賠額（自留額）的確定,定理：（停止損失再保險期望效用最大）若風險厭惡型的投保人愿意付出的保費為P，則對他而言，具有最大期望效用的保險形式是停止損失再保險，當免賠額 滿足下列方程時，

20、則有,證明：由于投保人是風險厭惡型的， ，因此,上面最后一個不等式成立，可分三種情況討論：（1） ，不等式以等號成立；（2） ， ，不等式也以等號成立；（3） ， ，

21、 ， ，最后的不等式成立。,對前面的不等式兩側(cè)取數(shù)學期望，得,定理得證。,,,,,定理1.4.l （停止損失再保險的最優(yōu)性）用 記當損失為 時，某再保險合同約定的理賠支付。假設 對于任意 成立,則,,,,,,證明: 記,因為

22、 ，所以只需證明,,上式成立的一個充分條件是 以概率1 成立．當 時， ． ，顯然成立；當 時, 我們有 ，有,,,,,,停止損失保費不僅使自留風險的方差達到最小，而且還使被保險人的期望效用達到最大。,例1.4.2 （比例再保險的最優(yōu)性） 假設保險人收取保費