數學物理方程十一章 柱函數1

1、,其中 Γ-函數定義為,它有遞推關系：,當 x 為 正整數,另一個解,通解：,(2) m 階貝塞耳方程,階貝塞耳函數,階貝塞耳函數,,只能從 開始。,不再是通解。,與,相互不獨立。,(3) 諾依曼函數,它與,和,都相互獨立。,階貝塞耳方程的通解又可以寫作,m 階貝塞耳方程的通解只能寫作,(4) 第一種和第二種漢克爾函數,階貝塞耳方程的通解又可以寫作,(5),第一類柱函數：貝塞耳函數,第二類柱函數：諾依曼函數

2、,第三類柱函數：漢克爾函數,圖,3. 和 的行為,需專門計算,都有限！,4. 遞推公式,對,、m,諾依曼函數、漢克爾函數滿足同樣關系。,寫作,5.虛宗量貝塞耳方程,階虛宗量貝塞耳方程,定義：,通解：,m 階虛宗量貝塞耳方程,另一個獨立解需要另外研究。,,圖,,,,,,,11.2,貝塞耳方程,描寫沿 的變化，邊界條件確定在柱面上。,,1. 本征值問題,m 已定，須定,A. 柱

3、面的第一類齊次邊界條件：,對于不同的 n，有,的離散本征值,零點,B. 第二類齊次邊界條件：,僅有貝塞耳函數具有這種性質，兩個零點之間必有極值。,同樣，,為貝塞耳函數的導數的零點序列，則本征值為,m=0 的情況:,即：,C. 第二類齊次邊界條件：,將是上上述方程度解。,2. 正交關系,貝塞耳方程是施圖姆－劉維爾本征值方程：,故它有正交關系,3. 模,對三個不同的本征值序列成立。,三個不同的本征值序列，有三個不同的模。,或,同一個方程的三

4、個不同的施圖姆－劉維爾本征值問題。,A. 第一類齊次邊界條件：,由,B. 第二類齊次邊界條件：,C. 第三類齊次邊界條件：,4. 廣義傅立葉級數,指定的m，次序由n給出。,權,幾個有用的公式：,由遞推公式,傅立葉-貝塞耳積分,的情況,例1,利用遞推公式求積分,例2,方程指定了為第一類邊界條件,或者,單位一！,例4,,,,,,,,軸對稱,1.,2.,例5,方程如P.179，習題5 （圓錐改為方錐）,1. 分離變量,2. 貝塞耳方程,