微分方程群分類研究

1、微分方程群分類研究微分方程群分類研究為了解決這個困難，通常采用兩種思想:一種就是通過引進一些技巧(如等價性變換)，直接研究帶有任意函數(shù)的確定方程組的相容性，進而確定出函數(shù)的具體形式和相應方程的對稱群。另一種思想就是不去直接研究確定方程組的相容性，而是先假設所考慮的方程具有某種性質的對稱群G(對稱代數(shù)g)，然后去尋找這種對稱群(對稱代數(shù))的表示。前一種方法由于確定方程組的復雜性，用這種思想來研究方程的群分類，特別是(在某些等價關系下)完備

2、的群分類仍然是很困難的，常常依賴于所考慮方程本身的特殊結構。因此，通常會對方程中的任意函數(shù)作一些特殊的限制，進而給出一些零散的分類結果，稱為方程的初步的群分類。這種思想給出了一個簡化分類問題的有效方法，本質上等價于給解決微分方程的完備群分類問題提供了一種可能性。論文參考。最近，烏克蘭數(shù)學家通過研究分類方程關于任意函數(shù)的特殊相容性，給出了一個有效的方法(稱之為相容性方法)來分類非線性方程。該方法已被用于不同的群分類問題。通過進一步考慮附加

3、的等價性變換，把該方法推廣到非線性擴散對流方程的研究中，成功的給出了該方程在連續(xù)性等價變換群和一般等價群下的完備群分類。后一種思想源于如果方程所容許的對稱群(對稱代數(shù))的表示給定了以后，就可以直接應用Lie的無窮小算法來解決微分方程的群分類問題。然而，當對稱代數(shù)的具體表示沒有給定時，分類同樣是非常的復雜。此時，利用Lie的無窮小算法的主要困難在于人們性李代數(shù)是同構的，且在微分方程群理論分析的意義下這些方程被認為是等價的。因此該理論實際上

4、給出了一種用來初步分類由某些特殊類的一階線性微分算子生成的低維李代數(shù)的不等價實現(xiàn)的方法。而這類特殊的微分算子是由所研究方程的結構確定的。它們形成了所考慮方程所容許的對稱群的李代數(shù)的實現(xiàn)的一個表示空間。因此，可在所有可能的實現(xiàn)構成的集合中引進一個自然的等價關系，即若兩個實現(xiàn)在等價群的作用下可以互相轉換，則它們被稱為是等價的。換句話說，研究具有給定形式的偏微分方程的對稱群分類問題等價于構造其李變換群(或由一階微分算子張成的李代數(shù))的一個表示