電動力學(xué)-電磁波的輻射

1、第五章 電磁波的輻射,§6 電磁波的衍射,§2 推遲勢,§3 電偶極輻射,§1 電磁場的矢勢和標(biāo)勢,§7 電磁場的動量,天線的演變,,,輸入,,導(dǎo)行電磁波,發(fā)射天線,接收天線,電磁波的傳播,入射、反射、透射、繞射,,傳輸,,導(dǎo)行電磁波,由發(fā)射機(jī)產(chǎn)生的高頻振蕩能量，經(jīng)過發(fā)射天線變?yōu)殡姶挪芰?，并向預(yù)定方向輻射，通過媒質(zhì)傳播到達(dá)接收天線附近。接收天線將接收到的電磁波能量變?yōu)?/p>

2、高頻振蕩能量送入接收機(jī)，完成無線電波傳輸?shù)娜^程。,發(fā)射機(jī)末級回路產(chǎn)生的高頻振蕩電流經(jīng)過饋線送到發(fā)射天線，通過發(fā)射天線將其轉(zhuǎn)換成電磁波輻射出去；到了接收端，電磁波在接收天線上感生高頻振蕩電流，再經(jīng)饋線將高頻振蕩電流送到接收機(jī)輸入回路，這就完成了信息的傳遞。在這個(gè)過程中，經(jīng)歷了電磁波的傳輸、發(fā)射、傳播、接收等過程。,,饋線,,,,,,,拉桿天線,引向天線,,喇叭天線,對數(shù)周期天線,中國遠(yuǎn)程相控陣?yán)走_(dá),螺旋天線,微帶天線,,（1),一、矢勢

3、 完全類似穩(wěn)恒磁場的矢勢的定義得時(shí)變電磁場 的矢勢!!! 因?yàn)?所以,§1 電磁場的矢勢和標(biāo)勢,§1.1 用勢描述電磁場,二、標(biāo)勢,因?yàn)?,矢量恒等式：,即,（2),所以,（a),（b),比較式(a)和(b)得：,分別為時(shí)變電磁場矢勢和標(biāo)勢。 注意這里的 沒有靜電場中電勢的意義!!!,一、洛倫茲規(guī)范(規(guī)定),因?yàn)?僅僅規(guī)定矢勢 的旋度，由亥姆霍茲定

4、理知：要唯一確定矢勢，還必須規(guī)定矢勢的散度值 ! 否則矢勢 不唯一! 不唯一導(dǎo)致標(biāo)勢 也不唯一!,對時(shí)變電磁場，通常規(guī)定矢勢的散度為：,（1）,或,§1.2 規(guī)范變換和規(guī)范不變性,式(1)是洛倫茲規(guī)范(規(guī)定)！,例如：任意矢勢和任意標(biāo)勢為,是給定矢勢， 是給定標(biāo)勢， 是任意標(biāo)量函數(shù)！式（a)稱為規(guī)范變換。由式(a) 確定電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度為,（a),上式表示：由

5、不同的矢勢和標(biāo)勢 和確定相同的電場 和磁場 ! 稱為規(guī)范不變性。,要唯一確定 ，即唯一確定標(biāo)量函數(shù) ，還必須規(guī)定 散度值(洛倫茲規(guī)范)：,（b),由式（c)確定一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 后，將 代入式(a)唯一確定矢勢 和標(biāo)勢 。,將式(a)代入式(b)得：,（c),任何物理量和物理規(guī)律作與式(a)類似的規(guī)范變換后， 保持不變，稱為規(guī)范不變性。,（1

6、）,洛倫茲規(guī)范(規(guī)定)：,因?yàn)?（a),（b),將式(b)代入式(a)得：,,（c),（d),將式(d)代入式(c)得標(biāo)勢的微分方程：,§1.3 達(dá)朗貝爾方程,因?yàn)?（a),（c),（b),將式(b)和(c)代入式(a)得：,（d),（f),（e),將式(e)代入式(d)得：,矢量等式：,是矢勢 的源， 是標(biāo)勢 的源!,由式(1), (2)求得 后,再代入,求電場強(qiáng)度 和磁感強(qiáng)度 ！,（2）,

7、洛倫茲規(guī)范(規(guī)定)：,（g),將式(g)代入式(f)得矢勢的微分方程：,,式(1), (2)具有相同的形式，稱為達(dá)朗貝爾方程。其意義是：電荷產(chǎn)生標(biāo)勢波動，電流產(chǎn)生矢勢波動。離開電荷電流分布區(qū)域后，矢勢和標(biāo)勢以相同波動方式在空間傳播，而由他們導(dǎo)出的電磁場E和B也以波動方式在空間傳播。,(1)(2),二、時(shí)變電磁場的推遲勢積分形式,矢勢和標(biāo)勢滿足達(dá)朗貝爾方程：,一、靜態(tài)場的電勢和磁矢勢的積分方程,其解為：,§2 推遲勢,

8、（a）,（1）,式(2)是體積V內(nèi)時(shí)變體分布電荷源和電流源在場點(diǎn)P產(chǎn)生的標(biāo)勢和矢勢。,（2）,在體積V內(nèi)有時(shí)變電荷源 和電流源 分布。對比式(a)得達(dá)朗貝爾方程（1）的解為：,式（2）推導(dǎo)：,現(xiàn)求解式（1）的,時(shí)變點(diǎn)電荷元 產(chǎn)生標(biāo)勢 滿足,因?yàn)闃?biāo)勢有球?qū)ΨQ，與角變量無關(guān)，只與R角變量無關(guān)。在球坐標(biāo)中，上式變?yōu)?設(shè) ，代入上式有,,,時(shí)變點(diǎn)電荷元以外區(qū)域的標(biāo)勢

9、 滿足,,上式是一維波動方程，其解是球面波：,,因?yàn)殪o點(diǎn)電荷元 的電勢：,可設(shè)想時(shí)變點(diǎn)電荷的標(biāo)勢也有形式(b)。由式(a)和(b)得時(shí)變點(diǎn)電荷元 產(chǎn)生的標(biāo)勢為,（a),(b),(c),同理，得時(shí)變體分布電流源產(chǎn)生的矢勢：,式(2)表示：場點(diǎn)P在時(shí)刻t的標(biāo)勢和矢勢不是由同一時(shí)刻t的電荷電流分布決定，而是由較早時(shí)刻（t-R/v) 的電荷電流分布決定。因此達(dá)朗貝爾方程的解式(2)稱為推遲勢。電磁場以有限

10、速度v向外傳播。,（2）,時(shí)變電荷源以 分布在體積 V內(nèi)，對式(c)積分得時(shí)變體分布電荷源在場點(diǎn)P產(chǎn)生的標(biāo)勢為,（2）,三、電磁波輻射的求解方法1、已知時(shí)變電荷源 和電流源 的空間分布后。2、由式 求得矢勢和標(biāo)勢的時(shí)間和空間分布。3、將求得的矢勢和標(biāo)勢。代入下式求電磁場 的時(shí)間和空間分布。,§3 電偶極輻射,電磁波是從交變運(yùn)動的電荷系統(tǒng)或交變電流天線輻

11、射出來的。§3.1 計(jì)算輻射場的公式（正弦時(shí)諧電磁場 的推遲勢積分形式）,電荷源作正弦變化：,電流源作正弦變化：,（a）,將式(a)代入下式得正弦變化矢勢和標(biāo)勢的復(fù)數(shù)形式為,（1）,式(1)表示：空間場點(diǎn)R處 的相位比電荷電流源 的相位落后 ! 是電磁波從電荷電流源 處傳遞到場點(diǎn)所用的時(shí)間!!!,,（2）,將(1)式中 去掉得正弦變化矢勢和

12、標(biāo)勢的復(fù)數(shù)形式：,式中， 波數(shù)，推遲作用因子 表示電磁波從電荷電流源傳至觀察點(diǎn)有相位 滯后。對正弦交變電流 ， 由式（2）完全確定輻射的電磁波。,交變電流分布在小區(qū)域，即小區(qū)域的線度 小于電磁波的波長 和觀察距離 ：,§3.2 矢勢的展開式,,,,,,,,,電磁作用的區(qū)域分成三個(gè)區(qū)域：

13、1、近區(qū)： 。因 ，電磁場保持恒定電場和磁場的特點(diǎn)。2、感應(yīng)區(qū)： 。為過渡區(qū)域。3、遠(yuǎn)區(qū)（輻射區(qū)）： 。電磁場為橫電磁波。對遠(yuǎn)區(qū)有：,（a）,將式(a)代入,,,,,,,,,,（a）,注意到相因子 不能忽略 ，分母 ，可忽略 ，即取

14、。式(a)作近似為,（b）,得：,,將式(a)中將相因子對 作級數(shù)展開，有：,式（1）中的第一項(xiàng)是電偶極輻射，第二項(xiàng)是磁偶極輻射和電四極輻射。我們只討論電偶極輻射，對磁偶極輻射和電四極輻射不作要求。,（1）,,赫茲電偶極子,高頻電流的直導(dǎo)線，當(dāng)導(dǎo)線長度遠(yuǎn)小于波長時(shí)，稱為電偶極子。近似認(rèn)為導(dǎo)線上每一點(diǎn)的電流都有相同的振幅和相位。,§3.3 電偶極子（電基本振子）輻射,一、電基本振子的電磁場,取載流為I(t)的短導(dǎo)

15、線，長度為dl，橫截面積為S，因?yàn)槎虒?dǎo)線的體積dV′=Sdl，線電流元為,線電流元,在球坐標(biāo)系中,矢勢的球坐標(biāo)分量為：,線電流元在場點(diǎn)P點(diǎn)產(chǎn)生的矢勢（推遲勢）為,將式(a)的矢勢代入下式求得磁場強(qiáng)度復(fù)數(shù)形式：,(a),(1),將式(1)代入 得電場強(qiáng)度復(fù)數(shù)形式：,(2),,二、電基本振子的電磁場分析,1、近區(qū)場,當(dāng)kr <<1時(shí)，即r << λ，場點(diǎn)P與源點(diǎn)的距離r 遠(yuǎn)小于波長λ的區(qū)域稱為

16、近區(qū)！在近區(qū)有：,由上式(1)和(2)作上面近似得近區(qū)電磁場復(fù)數(shù)形式：,（3）,式中p0是電偶極矩的復(fù)振幅，載流短導(dǎo)線是振蕩電偶極子，導(dǎo)線兩端電荷復(fù)振幅與電流復(fù)振幅的關(guān)系是：,近區(qū)中的電磁場為：,,在近區(qū)中，時(shí)變電偶極子的電場與靜電場中電偶極子的電場分布相似！時(shí)變電偶極子的磁場與靜磁場中電流元的磁場分布相似！因此將近區(qū)稱為“似穩(wěn)場”！且電場與磁場有 的相位差！,當(dāng)kr >> 1時(shí)，r >> λ，場點(diǎn)P與源

17、點(diǎn)距離r 遠(yuǎn)大于波長λ的區(qū)域稱為遠(yuǎn)區(qū)！在遠(yuǎn)區(qū)中,由上式(1)和(2)作上面近似得遠(yuǎn)區(qū)電磁場復(fù)數(shù)形式：,2、遠(yuǎn)區(qū)場,（2）,遠(yuǎn)區(qū)電磁場的特性：,（1）電場、磁場和傳播方向相互垂直，橫電磁波(TEM波)！電磁能量沿波傳播方向傳播，稱為輻射場。,遠(yuǎn)區(qū)電磁場與近區(qū)電磁場的分布不相同！,（2）電磁場的振幅與r成反比，與I、dl /λ成正比，特別是電磁場的振幅與電長度dl /λ有關(guān)！,為介質(zhì)的波阻抗。,（3）電場與磁場的相位相同，等相位面是半徑r球

18、面！等相位面上E、H 振幅與 有關(guān)，所以輻射場是非均勻球面波！,（4）場的方向性：電磁場的振幅正比于sinθ！在垂直于天線軸(Z軸)的方向(θ=90°)，輻射場最大；平行天線軸(Z軸)的方向(θ=0°)，輻射場為零。電基本振子的輻射有方向性，方向性是天線的一個(gè)主要特性。,電偶極子（電基本振子）的方向性函數(shù)為,立體方向圖,面方向圖,面方向圖,平均能流密度矢量：,§3.4 輻射能流和輻射功率,將

19、 代入上式,得平均能流密度矢量為：,（3）,以電基本振子天線為球心，用一個(gè)半徑為r的球面把它包圍起來，平均能流密度矢量在球面上的積分值是天線輻射出的功率。,,,,輻射功率為,（4）,空氣的波阻抗,空氣中的輻射功率為,,天線的輻射功率等效為電流I(t)在等效電阻上平均的損耗功率，該等效電阻稱為輻射電阻。令,,輻射電阻為：,輻射電阻是天線的重要參數(shù)，衡量天線的輻射能力，輻射電阻越大，天線的輻射功率越強(qiáng)

20、。它僅取決于天線的結(jié)構(gòu)與工作波長。,（5）,振蕩電偶極子附近的電磁場線,例1、計(jì)算長度dl /λ0 =0.1的電基本振子，當(dāng)電流振幅值為2 mA時(shí)的輻射電阻和輻射功率。,輻射功率為,解： 輻射電阻,線天線：天線的橫截面的半徑遠(yuǎn)小于電磁波波長：,,,,,,,,2l,,Idz,r,,θ,§5.2 半波天線,,§5 天線輻射,中心饋給電流的線天線，天線上電流是駐波形式，兩端是波節(jié)，天線長為l。天線上電流對稱分布

21、為：,z,I,一、對稱天線的電流分布,θ,不同長度對稱天線上的電流分布圖,,,,,,,,,兩段長度為 的直導(dǎo)線，從中間對稱供給電流，構(gòu)成對稱天線。,對稱天線上的電流分布為：,,,,,利用電偶極子（電流元）的遠(yuǎn)區(qū)輻射電場公式： 對稱天線上任意電流元在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生電場為： 在分母上可取 ，相位因子中取 ，上式變?yōu)?由式(1)和(2)可見：對稱天線輻射電磁波是TEM波，非均勻球面波，其方向性由

22、 角決定！,（1）,對稱天線上電流在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生電場為：,對稱天線上電流在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生磁場為：,（2）,,半波天線： ，由式(1)和(2)得對稱半波天線輻射電磁波為二. 對稱天線的電參數(shù) 1、 對稱天線的方向性函數(shù),對稱天線的未歸一化方向性函數(shù)：,（3）,僅與 有關(guān)，與 無關(guān)。對稱天線的歸一化方向性函數(shù)：,（4）,2、 對稱天線的輻射功率和輻射電阻,平均能流密度矢量：,對稱半波天線的歸一化方向性函數(shù)

23、為：,半波天線的輻射功率和輻射電阻為：,對稱天線的輻射電阻為：,（5）,對稱天線的輻射功率為：,1. 什么是天線陣？,若干個(gè)輻射單元以各種形式（如直線、圓環(huán)、三角和平面等）在空間排列組成的天線系統(tǒng)稱為天線陣。,2. 控制天線陣輻射的因素有哪些？,陣元數(shù)目；陣元排列方式；陣元間距；每個(gè)陣元的饋給電流的大小和相位。,,天線陣的概念：,§5.3 天線陣,例如，二元天線陣是由相隔一定距離的兩個(gè)輻射天線元組成。,縱向二元陣

24、,橫向二元陣,在電磁場中，電荷連續(xù)分布在體積V內(nèi)，單位體積運(yùn)動電荷受電場和磁場力(洛倫茲力密度）為：,（2）,§7 電磁場的動量,§7.1 電磁場的動量密度和動量流密度,,運(yùn)動電荷,體積V內(nèi)運(yùn)動電荷受電場和磁場力(洛倫茲力）為：,（1）,一、電磁場和電荷系統(tǒng)動量守恒定律,在真空中，麥克斯韋方程為,(a),將式(a)分別代入式(1)中的 得：,(b),用麥克斯韋方程 ,

25、 將式(b)寫成對電場和磁場對稱形式：,(c),,(3),定義電磁場的動量密度（單位體積電磁場的動量）為用矢量等式將式（c）中方括號寫為一個(gè)張量的散度：由矢量等式得：,(d),(e),同理得,定義電磁場的動量流密度張量（或稱為電磁場應(yīng)力張量）為,,(4),式(4)中 是單位張量。,,,將式(d)、式(e)、式(3)和式(4)代入式(c)得：,(5),將式(5)在電荷分布體積V內(nèi)積分得：,(6),,式(

26、5)和式(6)分別是電磁場和電荷系統(tǒng)動量守恒定律的微分方程和積分方程！,式(6)中各項(xiàng)的物理意義：,單位時(shí)間內(nèi)體積V中電磁場動量的增加值。,體積V內(nèi)電磁場總動量。,體積V內(nèi)運(yùn)動電荷受電場和磁場力，或單位時(shí)間內(nèi)體積V內(nèi)運(yùn)動電荷的總機(jī)械動量的增加值。,電磁場的動量流密度張量（或稱為電磁場應(yīng)力張量）。,,,,,,,,,,式(6)用文字表述為：,單位時(shí)間內(nèi)！從表面S流入體積V的電磁場動量=體積V中運(yùn)動電荷的總機(jī)械動量的增加值+體積V中電磁

27、場動量的增加值！,單位時(shí)間從表面S流入體積V的電磁場動量！,,運(yùn)動電荷 電磁場,電磁場的動量密度矢量為：,對平面時(shí)諧正弦電磁波，有：,二、電磁場的動量密度矢量與能流密度矢量的關(guān)系,(7),式(7)中 是電磁場的能流密度矢量。,電磁場的時(shí)間平均動量密度矢量為：,(8),(f),,,將式(f)代入式(8)得：,(9),(10),將平面電磁波的能流密度矢量：代入式(7)得電磁場的動量密度矢量為：,式(10)中

28、是平面電磁波的能量密度。,,,三、電磁場的動量流密度張量的意義,在直角坐標(biāo)系中，電場和磁場為,(g),將式(g)代入動量流密度張量式(4)得 張量的9個(gè)直角坐標(biāo)分量：,(11),分量 的意義是：通過垂直于直角坐標(biāo)系 i 軸的單位面積流過的動量 j 軸的分量。,,例如：,,,單位面積,,,,,電磁場的動量,如圖：ABC為一面元 ，這面元的直角坐標(biāo)三個(gè)分量分別是三角形OBC，OCA和O

29、AB的面積。OABC是一個(gè)體積元 。通過三角形OBC面的單位面積流入體內(nèi)的動量三個(gè)直角坐標(biāo)分量為：,通過三角形OCA面的單位面積流入體內(nèi)的動量三個(gè)直角坐標(biāo)分量為：,通過三角形OAB面的單位面積流入體內(nèi)的動量三個(gè)直角坐標(biāo)分量為：,當(dāng)體積 時(shí)，通過三個(gè)三角形OBC，OCA和OAB面流入體內(nèi)的動量等于從三角形ABC面流出的動量。因此，通過三角形ABC面流出動量的三個(gè)直角坐標(biāo)分量為：,通過三角形ABC面流出動量矢量為：上式

30、是通過面元 流出的動量。由上式得通過閉合面 流出的總動量為：,,§7.2 輻射壓力,一、輻射壓力的產(chǎn)生由于電磁波具有動量，它入射于物體時(shí)對物體施加壓力，這種壓力稱為輻射壓力?？梢姽庖鸬妮椛鋲毫ΨQ為光壓。二、輻射壓力的公式平面電磁波斜入射（入射角 ）到理想導(dǎo)體表面上，作用在導(dǎo)體單位面積的壓力為：,(1),式(1)中 是導(dǎo)體外電磁波的平均能量密度。,,,式(1)推導(dǎo)：1、

31、在體積 內(nèi)入射平面電磁波的動量為：,,,,,,,,,,理想導(dǎo)體表面單位面積,,入射波,反射波,2、在體積 內(nèi)反射平面電磁波的動量為：,3、在全反射時(shí)，平面電磁波的動量變化為：,,,,,理想導(dǎo)體表面,入射波,反射波,5、理想導(dǎo)體單位面積上 受壓力（壓強(qiáng)）為：,4、理想導(dǎo)體外電磁波的總平均能量密度等于入射電磁波的平均能量密度+入射電磁波的平均能量密度，即為,,入射

32、波,,,,,,洛倫茲規(guī)范為,（1）,第7次作業(yè)第五章 P. 186 5題 問題（3）不要?。?）解：,矢勢和標(biāo)勢滿足達(dá)朗貝爾方程：,（2）,將標(biāo)勢用赫茲矢量 表示為：,（3）,將式(3)代入洛倫茲規(guī)范式(1)得：,（4）,式(4)中 是無散度的量，對任一時(shí)刻成立，假設(shè)t=0時(shí)刻該量是零，得：,（2）解：,將自由電荷密度用矢量 表示為：,（1）,（2）,將 ， 代