關(guān)于傳染病模型

1、關(guān)于關(guān)于SARS模型的建立與相關(guān)的預(yù)測分析本文先根據(jù)材料提供的模型與數(shù)據(jù)較為扼要地分析了附件1的模型的優(yōu)缺點(diǎn)，摘要：全面地評(píng)價(jià)了該模型的合理性與實(shí)用性。而后在對(duì)問題進(jìn)行較為全面評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上引入更為全面合理的假設(shè)和建立系統(tǒng)分析模型。運(yùn)用聯(lián)立微分方程組體現(xiàn)疫情發(fā)展過程中各類人的內(nèi)在因果聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用經(jīng)典的龍格——庫塔微分方程求解算法結(jié)合MATLAB編程程序在附件一擬合出與實(shí)際較為符合的曲線并進(jìn)行了疫情預(yù)測。同時(shí)運(yùn)用雙線性函數(shù)模型對(duì)衛(wèi)

2、生部的措施進(jìn)行了評(píng)價(jià)并給出建議。而后運(yùn)用差分方程（程序在附件二）就SARS對(duì)經(jīng)濟(jì)（主要是旅游業(yè)）的影響進(jìn)行了較為準(zhǔn)確的分析，進(jìn)而通過模型算出的理論預(yù)測數(shù)值與實(shí)際數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，以數(shù)值上的顯著差異直觀地表現(xiàn)了SARS對(duì)經(jīng)濟(jì)（旅游）的影響，并對(duì)接下來的幾個(gè)月進(jìn)行了較為合理的預(yù)測。本文的最后，通過本次建模過程中的切身體會(huì)，以一篇短文評(píng)述去說明建立如SARS預(yù)測模型之類的傳染病傳染病預(yù)測模型的重要意義。關(guān)鍵詞：微分方程龍格—庫塔算法SARS雙線性

3、函數(shù)模型差分方程數(shù)學(xué)模型1一問題的重述SARS（SevereAcuteRespiratySyndrome，嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥俗稱：非典型是肺炎）21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到定量地研究傳染病傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和控制傳染病傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請(qǐng)你們對(duì)SARS的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下：（1）對(duì)附件1

4、所提供的一個(gè)早期的模型，評(píng)價(jià)其合理性和實(shí)用性。（2）建立你們自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個(gè)真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對(duì)于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評(píng)論，如：提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，對(duì)疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。附件2提供的數(shù)據(jù)供參考。（3）收集SARS對(duì)經(jīng)濟(jì)某個(gè)方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測。附件3提供的數(shù)據(jù)供參考。（4）給

5、當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫一篇通俗短文，說明建立傳染病傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。（二）對(duì)附件1所提供的模型的評(píng)價(jià)該模型的合理性首先體現(xiàn)在模型假設(shè)上：“假定初始時(shí)刻的病例數(shù)為N0，平均每?。↘，人每天可傳染K個(gè)人一般為小數(shù)）平均每個(gè)病人可以直接感染他人的時(shí)間為L天?！逼湟?，一般來說每病人每天可傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)的健康人數(shù)有關(guān)1，但由于北京的人數(shù)基數(shù)較大，SARS病人數(shù)相對(duì)較少并且SARA持續(xù)時(shí)間不是很長，所以這樣假設(shè)也是可以的。其二，每個(gè)病人可以直接感染他人

6、的時(shí)間是有限的，該模型考慮到了這一點(diǎn)，也是很合理的。該模型的合理性還在于用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法估計(jì)相關(guān)參數(shù)。該模型的實(shí)用性是較好地模擬與預(yù)測了北京的SARA數(shù)據(jù)與發(fā)展。在傳染病傳染病發(fā)病初期對(duì)疫情的預(yù)測結(jié)果還是較為理想的，這主要得益于發(fā)病初期，由于病情來得突然，有關(guān)部門沒有來得及采取措施加以控制，使病情得以蔓延迅速，而且發(fā)病初期在治療方法上不是特別有效，治愈所需的時(shí)間長，所以使用NtN01kt作為模型進(jìn)行估計(jì)以及參數(shù)的假設(shè)均較為合理，基本上是

7、可行的。但是到了疫情發(fā)展中后期，由于政府部門采取強(qiáng)硬措施加強(qiáng)防治工作以及人民群眾的防范意識(shí)與警覺程度上的普遍提高，加之治療措施的改進(jìn)，使得每天被傳染的人數(shù)下降，并且治愈的人數(shù)在不斷增加，治愈時(shí)間也在不斷縮短，每天的病人數(shù)應(yīng)在上一天的基礎(chǔ)上減去治愈和死亡的人數(shù)，““并且由于采取強(qiáng)硬措施L”的取值會(huì)大大的減小，K”取值也會(huì)是個(gè)變量，而不是常數(shù)。大多數(shù)疑是病人往往在早期就會(huì)被隔離，所以，基本2上很少能轉(zhuǎn)化成自由非典病人而去接觸并傳染別人。如果

8、此時(shí)還是選取NtN01kt這樣的單調(diào)遞增函數(shù)作為預(yù)測模型，就會(huì)有較大的誤差。該模型的另一個(gè)不足是沒有考慮SARS的潛伏期，也沒有對(duì)人群進(jìn)行合理的分類（如易感染人群、病人、治愈人群例SARS病人出現(xiàn)在3月1日，但只有4月19日以后的數(shù)據(jù)，所以我們只能進(jìn)行模型建立和分析，而不能求解模型。這也是建立真正有效的能預(yù)測的模型的困難之一。困難之二是這個(gè)微分方程組的求解極其困難。困難之三是我們不知道政府在何時(shí)干預(yù)及力度如何。2、控后模型的建立：將人群

9、分為易感染人群、已受感染者、移出者、疑似病人和未被隔離的帶菌者五類。設(shè)控制開始時(shí)間為4月21日。記S：表示易感染人群即健康者在人群中的比例。I：已受感染者即病人在人群中的比例。M：未被隔離的帶菌者。X：疑似病人。R：移出者包括“出院者”和“死亡者”在人群中的比例。a:每個(gè)病人每天有效接觸并使之感染的平均人數(shù)（常數(shù)）。b:移出率，即SARS患者的每日死亡率和每日治愈率之和。d:每個(gè)未被隔離帶菌者被隔離前平均每天感染有效人數(shù)。x1:疑似者中

10、每日被排除的人數(shù)占疑似人數(shù)的比例。x2：疑似者中每日確診的人數(shù)占疑似人數(shù)的比例。j：未被隔離的帶菌者轉(zhuǎn)化為病人的日轉(zhuǎn)化率。k：被未被隔離的帶菌者有效傳染的人中可以控制的比例。則有：dSdtx1XtdMtSt8dIjMtbItx2Xt9dtdRbIt10dtdXx1Xtx2XtdkMtSt11dtdMd1kMtStjMt12dtSt＋I(xiàn)t＋Rt＋Xt＋Mt＝113S0I0R0X0M0為初始值參數(shù)的確定：我們以材料提供的北京市疫情統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來

11、說明參數(shù)的分析方法。（見附件三）以下全部圖的坐標(biāo)0均表示4月19日。（1）x1：x1（每天新增的疑似排除人數(shù)）（當(dāng)天疑似病人累計(jì)人數(shù)—當(dāng)天移出累計(jì)人數(shù)）首先我們先直觀的觀察一下X1的變化趨勢。根據(jù)材料提供的數(shù)據(jù)，用MATLAB來出5x1，并畫圖，如圖1所示：圖1接著用曲線擬合圖1，如圖2所示：圖2從上圖可看出，圖2大概有兩個(gè)峰值。第一個(gè)高峰可能是疑似者中非感染者較高；第二個(gè)峰值則是因大部分真正帶病的疑似者已轉(zhuǎn)化為確診后，未帶菌者相對(duì)比例

12、增大造成的。由此4階擬合得出的曲線誤差很大，為此，我們?nèi)サ魩讉€(gè)偏差太大的點(diǎn)后，易看出，x1集中分布在0到0.05之間。從圖中，可以發(fā)現(xiàn)，最集中的數(shù)據(jù)為0.035，這樣我們就以0.035為x1的估計(jì)值。（2）x2：x2（每天新增的疑似轉(zhuǎn)化為確診的人數(shù)）（當(dāng)天疑似累計(jì)人數(shù)—當(dāng)天累計(jì)移出者）首先觀察x2的變化趨勢，如圖3所示：6圖3用5階曲線擬合，如圖4所示：圖4從圖4可見，x2在疫情得到重視后一直下降。由圖還可以看出x2的值主要分布在0.0

13、005和0.015之間。我們根據(jù)SARS具有潛伏期的情況，估計(jì)x2分為兩個(gè)階段值：0.0223和0.006。從對(duì)x1與x2的數(shù)據(jù)處理來看，我們可以將控制后期的這段時(shí)期分為兩個(gè)階段：過渡期和平穩(wěn)期；這兩個(gè)階段的產(chǎn)生是與非典自身的特性分不開的。由于非典具有潛伏期，所以在控制初期，由于前一段時(shí)間對(duì)非典的控制力度不夠，造成較多的人處于SARS潛伏期，這一部分人最終將轉(zhuǎn)化為SARS病人；且因?yàn)樗麄優(yōu)槲幢桓綦x帶菌者，在進(jìn)醫(yī)院前會(huì)傳染較多的人；加之各

14、項(xiàng)措施從頒布到實(shí)行總會(huì)有一段反應(yīng)時(shí)間，所以上述原因直接導(dǎo)致了過渡期的形成。（3）b：b（每天新增的出院者和死亡者的人數(shù)）（當(dāng)天病人累計(jì)人數(shù)—當(dāng)天累計(jì)移出者人數(shù)）首先觀察b的變化趨勢。如圖5所示：7圖5用3階曲線擬合，如圖6所示：圖6由圖還可以看出B的值主要分布在0.005和0.09之間。也可以分為三個(gè)階段值：b0.0085，0.036和0.085。（4）j：從材料提供的數(shù)據(jù)可以估計(jì)出其值在0.12到0.25之間?，F(xiàn)在我們令j0.23。（

15、5）k：根據(jù)各地的人們的意識(shí)和習(xí)慣等因素反映出來，比如在控制期對(duì)人口流動(dòng)的控制嚴(yán)格程度，減少聚會(huì)等措施。由此我們估計(jì)k在0.7到0.9之間。（七）模型的解法與求解：經(jīng)過嘗試，我們可以知道無法從建立的微分方程直接求出S，I，R，X，M的函數(shù)表達(dá)式。我們嘗試編寫龍格—庫塔微分求解算法求它們的數(shù)值解。龍格—庫塔算法（求解微分方程組）：K1ftZnK2ftZnh2K1K3ftZnh2K2K4ftZnhK3Zn1Znh2K12K22K3K4步長h