高中數(shù)學——導數(shù)難題

1、5.5.導函數(shù)導函數(shù)——不等式不等式1.1.已知函數(shù)已知函數(shù)()exfxkxx???R，（Ⅰ）若（Ⅰ）若ek?，試確定函數(shù)，試確定函數(shù)()fx的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若（Ⅱ）若0k?，且對于任意，且對于任意x?R，()0fx?恒成立，試確定實數(shù)恒成立，試確定實數(shù)k的取值范的取值范圍；圍；（Ⅲ）設函數(shù)（Ⅲ）設函數(shù)()()()Fxfxfx???，求證：，求證：12(1)(2)()(e2)()nnFFFnn?????N?分析：本小題主要

2、考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導數(shù)、不等式等基本知識，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結合等數(shù)學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力。解：（Ⅰ）由ek?得()eexfxx??，所以()eexfx???由()0fx??得1x?，故()fx的單調(diào)遞增區(qū)間是(1)??，，由()0fx??得1x?，故()fx的單調(diào)遞減區(qū)間是(1)??，（Ⅱ）由()()fxfx??可知()fx是偶函數(shù)于是()0fx?對任意x?R成立等價于(

3、)0fx?對任意0x≥成立由()e0xfxk????得lnxk?①當(01]k?，時，()e10(0)xfxkkx??????≥此時()fx在[0)??，上單調(diào)遞增故()(0)10fxf??≥，符合題意②當(1)k???，時，ln0k?當x變化時()()fxfx?，的變化情況如下表：x(0ln)k，lnk(ln)k??，()fx??0?()fx單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在[0)??，上，()(ln)lnfxfkkkk??≥當0t?

4、時，由()0hx??，得13xt?，當13()xx???，時，()0hx??，所以()hx在(0)??，內(nèi)的最小值是13()0ht?故當0x?時，()()tfxgx≥對任意正實數(shù)t成立方法二：對任意固定的0x?，令232()()(0)3thtgxtxtt????，則11332()()3httxt????，由()0ht??，得3tx?當30tx??時，()0ht??；當3tx?時，()0ht??，所以當3tx?時，()ht取得最大值331

5、()3hxx?因此當0x?時，()()fxgx≥對任意正實數(shù)t成立（ii）方法一：8(2)(2)3tfg??由（i）得，(2)(2)ttgg≥對任意正實數(shù)t成立即存在正實數(shù)02x?，使得(2)(2)xtgg≥對任意正實數(shù)t成立下面證明0x的唯一性：當02x?，00x?，8t?時，300()3xfx?，0016()43xgxx??，由（i）得，30016433xx??，再取30tx?，得30300()3xxgx?，所以303000016(