由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法

1、由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法已知數(shù)列的遞推公式，求取其通項(xiàng)公式是數(shù)列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個(gè)具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構(gòu)造的技巧性也很強(qiáng)，但是此類題目也有很強(qiáng)的規(guī)律性，存在著解決問題的通法，本文就高中數(shù)學(xué)中常見的幾類題型從解決通法上做一總結(jié)，方便于學(xué)生學(xué)習(xí)和老師的教學(xué)，不涉及具體某一題目的獨(dú)特解法與技巧。一、一、型數(shù)列，型數(shù)列，（其中（其中不是常值函數(shù)不是常值函數(shù))1()nnaafn???()fn此類數(shù)

2、列解決的辦法是累加法，具體做法是將通項(xiàng)變形為，從而就有1()nnaafn???21321(1)(2)(1).nnaafaafaafn?????????將上述個(gè)式子累加，變成，進(jìn)而求解。1n?1(1)(2)(1)naafffn???????例1.1.在數(shù)列中na11221.nnnaaana?????求解：解：依題意有213211323nnaaaaaan?????????逐項(xiàng)累加有，221(123)(1)1323(1)212nnnaannn

3、n????????????????從而。223nann???注：在運(yùn)用累加法時(shí)要特別注意項(xiàng)數(shù)計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).變式練習(xí)：變式練習(xí)：已知滿足求的通項(xiàng)公式。na11?a)1(11????nnaannna二、二、型數(shù)列，型數(shù)列，（其中（其中不是常值函數(shù)不是常值函數(shù)))(1nfaann???()fn此類數(shù)列解決的辦法是累積法，具體做法是將通項(xiàng)變形為，從而就有1()nnafna??32121(1)(2)(1)nnaaafffnaaa??????

4、?將上述個(gè)式子累乘，變成，進(jìn)而求解。1n?1(1)(2)(1)nafffna??????例2.2.已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。na11123(2)321nnnaaann???????na四、四、型數(shù)列（型數(shù)列（p為常數(shù)）為常數(shù)）??nfpaann???1此類數(shù)列可變形為，則可用累加法求出，由此求得.??111?????nnnnnpnfpapa??????nnpana例4已知數(shù)列滿足求.??na111132nnnaaa?????na解:

5、將已知遞推式兩邊同除以得設(shè)故有12n?1131222nnnnaa?????2nnnab?，從而.132(2)2nnbb?????15322nnnb????11532nnna?????注：通過變形構(gòu)造輔助數(shù)列轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列的問題是我們求解陌生的遞推關(guān)系式的常用方法.若為的一次函數(shù)則加上關(guān)于的一次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列若為()fnnnan()fn的二次函數(shù)則加上關(guān)于的二次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.這時(shí)我們用待定系數(shù)法來求nnan解.例5已知數(shù)列滿

6、足??na1111221.2nnnanaana??????當(dāng)時(shí)求解:作則代入已知遞推nnbaAnB???nnabAnB???11(1)nnabAnB??????式中得:.11111(2)(1)2222nnbbAnAB???????令1202111022AAB????????????46AB???????這時(shí)且112nnbb??46nnban???顯然所以.132nnb??13462nnan????注：通過引入一些待定系數(shù)來轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)經(jīng)