2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽(a卷)

1、第1頁共2頁2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競(jìng)賽年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競(jìng)賽一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分。1.設(shè)集合，，則的元素個(gè)數(shù)為______.12399A?…2||2BxxACxxA????BC?2.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)在平面上，使得直線與所成角不小于且不大于，P?3Q?PQ?30?60?則這樣的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域的面積為______.Q3.將隨機(jī)排成一行，記為，則是偶數(shù)的概率為______.123456abcdefabc

2、def?4.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，橢圓的弦xOy2222:1(0)xyCabab????12FF、C與分別平行于軸與軸，且相交于點(diǎn)。已知線段的長(zhǎng)分別為，則STUVxyPPUPSPVPT1236的面積為______.12PFF?5.設(shè)是定義在上的以為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間上嚴(yán)格遞減，且滿足()fxR2[01]()1(2)2ff????，則不等式組的解集為______.121()2xfx???????6.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，使得

3、關(guān)于的方程有實(shí)根，則這樣的復(fù)數(shù)的和為______.z||1z?x2220zxzx???z7.設(shè)為的外心，若，則的值為______.OABC?2AOABAC??????????????sinBAC?8.設(shè)整數(shù)數(shù)列滿足，且1210aaa…10128532aaaaa???，112129iiiaaai?????…則這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)為______。二、解答題：本大題共3小題，滿分56分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。9.（本題滿分16分

4、）已知定義在上的函數(shù)為R?()fx3|log1|09()49xxfxxx???????????設(shè)是三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，滿足，求的取值范圍。abc()()()fafbfc??abc10.（本題滿分20分）已知實(shí)數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)，有，其中表123aaa…n(2)1nnnaSa??nS示數(shù)列的前項(xiàng)和。證明：n1）對(duì)任意正整數(shù)，有；n2nan?2）對(duì)任意正整數(shù)，有。n11nnaa??11.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)是拋物線的過點(diǎn)的弦，的外接圓

5、交拋物線xOyAB24yx?(10)FAOB?于點(diǎn)（不同于點(diǎn)）。若平分，求的所有可能值。POABPFAPB?||PF加試（加試（A卷）卷）一、（本題滿分40分）設(shè)是正整數(shù)，，均為正實(shí)數(shù)，滿足n1212nnaaabbb?…AB，且。12iiiabaAin???…1212nnbbbBaaaA?……二、（本題滿分40分）如圖，為銳角三角形，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)和分別ABC?ABAC?MBCDE為的外接圓和的中點(diǎn)，為的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)，為與ABC

6、?ABACABCFABC?ABGAEBC的交點(diǎn)，在線段上，滿足。NEFNBAB?證明：若，則。（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）BNEM?DFFG?第2頁共2頁三、（本題滿分50分）設(shè)是正整數(shù)，滿足，且。設(shè)是的nkm2k?21knmnk???A12m…n元子集。證明：區(qū)間中的每個(gè)整數(shù)均可表示為，其中。(0)1nk?aa??aaA??四、（本題滿分50分）數(shù)列定義如下：是任意正整數(shù)，對(duì)整數(shù)，是與互素，且不na1a1n?1