[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版第三章1講

1、第三章,多維隨機變量,從本講起，我們開始第三章的學習.,一維隨機變量及其分布,,多維隨機變量及其分布,由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難，我們重點討論二維隨機變量 .,它是第二章內(nèi)容的推廣.,,到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布. 但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.,在打靶時,命中點的位置是由一對r.v(兩個坐標)來確定的.,飛機的重心在空中的位置是由三個r.v (三個坐標）來確定的等

2、等.,一般地，我們稱n個隨機變量的整體X=(X1, X2, …，Xn)為n維隨機變量或隨機向量. 以下重點討論二維隨機變量.,請注意與一維情形的對照 .,1離散型二維隨機變量,,1）定義：,,,,,3)二維離散型隨機變量聯(lián)合分布律的性質(zhì),,,2、聯(lián)合分布函數(shù),1）定 義,,,2）二元分布函數(shù)的幾何意義,,,,,y,,,,,,,,,,,,,,,,,,o,(x, y),(X, Y ),3）分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：,,,（1）F (x

3、, y )是變量 x , y 的不減函數(shù)，即對于任意固定的 y , 當 x1< x2時，對于任意固定的 x , 當 y1< y2時，,對于任意固定的 y ,,且,對于任意固定的 x ,,,,（3） F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )關于 x 右連續(xù)，關于 y 也右連續(xù).,,,1）定義：對于二維隨機變量 ( X,Y )

4、分布函數(shù) F (x , y )，如果存在非負函數(shù) f (x , y )，使得對于任意的 x，y有：,則稱 ( X,Y ) 是連續(xù)型的二維隨機變量，函數(shù) f (x , y )稱為二維隨機變量 ( X,Y )的概率密度，或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合概率密度。,3、二維連續(xù)型隨機變量,,,2) 概率密度的性質(zhì)：,40 設 G 是平面上的一個區(qū)域，點 ( X,Y )落在 G 內(nèi) 的概率為：,Important formula,,

5、,在幾何上 z = f (x , y) 表示空間的一個曲面，上式即表示 P{(X,Y)?G}的值等于以 G 為底，以曲面 z = f (x , y)為頂?shù)闹w體積.,,例1　把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求(X,Y)的概率函數(shù) .,,解：（ X, Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8,P(X=1,

6、 Y=1)=3(1/2)3=3/8,P(X=2, Y=1)=3/8,P(X=3, Y=0)=1/8,列表如下,二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律. 而單個隨機變量X,Y也具有自己的概率分布. 那么要問:二者之間有什么關系呢?,,從表中不難求得:,P(X=0)=1/8,,P(X=1)=3/8,P(X=2)=3/8,,P(X=3)=1/8,,P(Y=1)=P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1)=3/8

7、+3/8=6/8,,P(Y=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3)=1/8+1/8=2/8.,注意這兩個分布正好是表2的行和與列和.,如下表所示,我們常將邊緣概率函數(shù)寫在聯(lián)合概率函數(shù)表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.,,,,邊緣分布也稱為邊沿分布或邊際分布．,邊緣分布的定義：,聯(lián)合分布與邊緣分布的關系,,由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;,但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.,一般，對離散型 r.v ( X,Y )，,則(

8、X,Y)關于X的邊緣概率函數(shù)為,(X,Y)關于Y 的邊緣概率函數(shù)為,X和Y 的聯(lián)合概率函數(shù)為,對連續(xù)型 r.v ( X,Y )，,X和Y的聯(lián)合概率密度為,則( X,Y )關于X的邊緣概率函數(shù)為,( X,Y )關于Y的邊緣概率函數(shù)為,對任意r.v (X,Y)，,X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為,則(X,Y)關于X的邊緣分布函數(shù)為,(X,Y)關于Y的邊緣分布函數(shù)為,,,例 2,,,,,,,,,例 3,,,例 3（續(xù)）,例4 設(X,Y)的概率密度是,

9、求 (1) c的值； （2）兩個邊緣密度。,=5c/24=1,,c =24/5,解：(1),例4 設(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 兩個邊緣密度 .,注意積分限,注意取值范圍,例4 設(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 兩個邊緣密度 .,注意積分限,注意取值范圍,即,,練習：設隨機變量（X,Y）具有下列概率密度,,,,,求其中的未知參數(shù)c,并求關于X和關

10、于Y的邊緣概率密度。,,,,,,在求連續(xù)型 r.v 的邊緣密度時，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分. 當聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時候，在計算積分時應特別注意積分限 .,,下面我們介紹兩個常見的二維分布.,設G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機變量（ X,Y）具有概率密度,則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.,向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關. 則質(zhì)點的

11、坐標（ X,Y）在G上服從均勻分布.,例,若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度,記作（ X,Y）～N( ),二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布 .,留給同學們自己證明.,在這一講中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量的聯(lián)合分布、邊緣分布.,由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;,但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.,那么要問，在什么情況下，由邊緣分布可以唯一確定聯(lián)合分布呢？,

12、請注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關系:,我們下一講就來回答這個問題.,,,,芝諾悖論與第二次數(shù)學危機,十七、十八世紀關于微積分發(fā)生的激烈的爭論，被稱為第二次數(shù)學危機。從歷史或邏輯的觀點來看，它的發(fā)生也帶有必然性。 這次危機的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對無限性的理解問題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關于時空的有限與無限的四個悖論：    “兩分法”：向著一個目的地運動的物體，首先必須經(jīng)過路程的中

13、點，然而要經(jīng)過這點，又必須先經(jīng)過路程的1/4點……，如此類推以至無窮。——結論是：無窮是不可窮盡的過程，運動是不可能的。,,“阿基里斯(《荷馬史詩》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達烏龜?shù)某霭l(fā)點，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個論點同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過的路程一再平分?！帮w矢不動”：意思是箭在運動過程中的任一瞬時間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運動狀態(tài)。,,“操場或游行隊伍”：A

14、、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的c來看，比如說A、B都在1小時內(nèi)移動了2公里，可是從A看來，則B在1小時內(nèi)就移動了4公里。運動是矛盾的，所以運動是不可能的。 芝諾揭示的矛盾是深刻而復雜的。前兩個悖論詰難了關于時間和空間無限可分，因而運動是連續(xù)的觀點，后兩個悖論詰難了時間和空間不能無限可分，因而運動是間斷的觀點。,,它們說明了人們已經(jīng)看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。 經(jīng)過許多人多年的努力

15、，終于在17世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科。由于運算的完整性和應用的廣泛性，微積分成為當時解決問題的重要工具。同時，關于微積分基礎的問題也越來越嚴重。關鍵問題就是無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成了第二次數(shù)學危機。無窮小量究竟是不是零？牛頓’萊布尼茲對它曾作過不同解釋 ，但是他們也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。,,直到19世紀20年代，一些數(shù)學家才比