參數(shù)估計(jì)的若干方法及應(yīng)用

1、參數(shù)估計(jì)的若干方法及應(yīng)用周繼南12級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)1班060112046摘要：參數(shù)估計(jì)（parameterestimation）是根據(jù)從總體中抽取的樣本估計(jì)總體分布中包含的未知參數(shù)的方法。它是統(tǒng)計(jì)推斷的一種基本形式，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)重要分支，分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩部分。文章將介紹矩估計(jì)，極大似然估計(jì)，區(qū)間估計(jì)法等參數(shù)估計(jì)方法，并對極大似然估計(jì)，最小二乘法進(jìn)行推廣分析。對它們的范圍進(jìn)行比較討論，最后我們對其各自的重要性及其在實(shí)際中的應(yīng)用

2、作一介紹。關(guān)鍵詞：參數(shù)估計(jì)；矩估計(jì)；極大似然估計(jì)；區(qū)間估計(jì)；最小二乘法；引言：隨著數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用更加廣泛參數(shù)估計(jì)在醫(yī)療，交通，市場消費(fèi)甚至是自然災(zāi)害的預(yù)測等實(shí)際生活中都有著舉足輕重的作用，它科學(xué)且精確地讓我們預(yù)測一個(gè)參數(shù)的值，以達(dá)到避免災(zāi)害或是獲取利益等作用。參數(shù)估計(jì)已不知不覺滲透到生活的各個(gè)方面，它對人們的生活帶來的很大的方便。但是對于參數(shù)估計(jì)方法，好多人卻不是很了解，所以，為了人們能更好的利用參數(shù)估計(jì)為生產(chǎn)生活服務(wù)，本文將在論文中對

3、參數(shù)估計(jì)的具體方法做一個(gè)較為系統(tǒng)細(xì)致的講解。參數(shù)估計(jì)方法在人們生活中的應(yīng)用，便于人們能更了解參數(shù)估計(jì)，接觸參數(shù)估計(jì)，很好把它應(yīng)用到生活之中。這樣，就會(huì)避免不必要的盲目性，對事物的發(fā)展有個(gè)相對明確的判斷和把握，為生活帶來方便和效益。正文：1、參數(shù)估計(jì)的基本方法參數(shù)估計(jì)有點(diǎn)估計(jì)(pointestimation)和區(qū)間估計(jì)(intervalestimation)兩種。1.1點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)是依據(jù)樣本估計(jì)總體分布中所含的未知參數(shù)或未知參數(shù)的函數(shù)。通

4、常它們是總體的某個(gè)特征值，如數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)系數(shù)等。點(diǎn)估計(jì)問題就是要構(gòu)造一個(gè)只依賴于樣本的量，作為未知參數(shù)或未知參數(shù)的函數(shù)的估計(jì)值。例如，設(shè)一批產(chǎn)品的廢品率為θ。為估計(jì)θ，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽出n個(gè)作檢查，以X記其中的廢品個(gè)數(shù)，用Xn估計(jì)θ，這就是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)。（1）構(gòu)造點(diǎn)估計(jì)常用的方法是：①矩估計(jì)法。用樣本矩估計(jì)總體矩，如用樣本均值估計(jì)總體均值。②極大似然估計(jì)法。于1912年由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.費(fèi)希爾提出，用來求一個(gè)樣本集的相關(guān)概

5、率密度函數(shù)的參數(shù)。（在以后的文章中專門討論）③最小二乘法。主要用于線性統(tǒng)計(jì)模型中的參數(shù)估計(jì)問題。（在以后的文章中專門討論）④貝葉斯估計(jì)法。基于貝葉斯學(xué)派(見貝葉斯統(tǒng)計(jì))的觀點(diǎn)而提出的估計(jì)法。（2）可以用來估計(jì)未知參數(shù)的估計(jì)量很多，于是產(chǎn)生了怎樣選擇一個(gè)優(yōu)良估計(jì)量的問題。首先必須對優(yōu)良性定出準(zhǔn)則，這種準(zhǔn)則是不唯一的，可以根據(jù)實(shí)際問題和理論研究的方便進(jìn)行選擇。優(yōu)良性準(zhǔn)則有兩大類：一類是小樣本準(zhǔn)則，即在樣本大小固定時(shí)的優(yōu)良性準(zhǔn)則；另一類是大樣

6、本準(zhǔn)則，即在樣本大小趨于無窮時(shí)的優(yōu)良性準(zhǔn)則。最重要的小樣本優(yōu)良性準(zhǔn)則是無偏性及與此相關(guān)的一致最小方差無偏估計(jì)，其次有容許性準(zhǔn)則，最小化最大準(zhǔn)則，最優(yōu)同變準(zhǔn)則等。大樣本優(yōu)良性準(zhǔn)則有相合性、最優(yōu)漸近正態(tài)估計(jì)和漸近有效估計(jì)等。1.2區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)是依據(jù)抽取的樣本，根據(jù)一定的正確度與精確度的要求，構(gòu)造出適當(dāng)?shù)膮^(qū)間，作2.2.1極大似然估計(jì)原理費(fèi)歇引進(jìn)的極大似然法，至今仍然是參數(shù)點(diǎn)估計(jì)中最重要的方法從理論觀點(diǎn)來看，是利用總體的分布函數(shù)F（X；）

7、的表達(dá)式及樣本所提供的信息，建立未知參數(shù)θ的估計(jì)ξθ量（，，，）。θ1ξ2ξ???nξ設(shè)總體ξ的概率函數(shù)為F（x，，，，），其中，，，，為未知1θ2θ???lθ1θ2θ???lθ參數(shù)，參數(shù)空間Θ是l維的，，，為簡單隨機(jī)樣本，它的聯(lián)合概率函數(shù)為1ξ2ξ???nξF（，，，；，，，）1Χ2Χ???nΧ1θ2θ???lθ稱L（，，，）=（；，，，）為，，，的似然1θ2θ???lθ?nif1=iξ1θ2θ???lθ1θ2θ???nθ函數(shù)。若有，

8、，，使得下式成立：L()=maxΛθ1Λθ2???ΛθlΛθ1Λθ2???Λθl)(21lLθθθ???則稱=（，，，）為的極大似然估計(jì)量。ΛθjΛθj1ξ2ξ???nξjθ2.2.2估計(jì)的求法常見的極大似然估計(jì)方法有微分法、定義法和比值法。（1）微分法：當(dāng)似然函數(shù)為的連續(xù)函數(shù)，且關(guān)于的各分量的偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，可用微ξθ分法求極大似然估計(jì)設(shè)θ是k維的，Θ是中的開區(qū)域，則由極值的必要條kR件知極大似然估計(jì)應(yīng)滿足似然方程=0，i=1，2，，k

9、iXLθθ??)(???為了方便，常對似然函數(shù)取對數(shù)，易知L（θ，x）與在Θ上有相同的最ln()Χθ大值點(diǎn)，因此，似然方程可寫成=0，i=1，2，…，k值得注意的是，由極值的ixLθθ??)(ln必要條件知極大似然估計(jì)一定是似然方程的解，但未必似然方程的所有解都是極大似然估計(jì)，嚴(yán)格講對似然方程的解要經(jīng)過驗(yàn)證才能確定是極大似然估計(jì)（2）定義法似然函數(shù)若關(guān)于θ有間斷點(diǎn)，或似然方程無解或解不在Θ內(nèi)，這時(shí)由似然函數(shù)的形式，利用定義直接判斷出極大

10、值點(diǎn)（3）比值法這種方法適用于參數(shù)是離散型情形為求極大似然估計(jì)，經(jīng)?？紤]參數(shù)取相鄰兩項(xiàng)值時(shí)，用所得的似然函數(shù)的比值或差來找似然函數(shù)的最大值點(diǎn)小結(jié)：對通過這次參數(shù)估計(jì)的研究才認(rèn)識(shí)到這方面的知識(shí)博大精深，還有很多我所不了解的地方。在老師的指導(dǎo)和同學(xué)的幫助下查閱很多資料才弄懂了以前學(xué)習(xí)時(shí)忽略的問題。這次深入的了解參數(shù)估計(jì)的內(nèi)容，使我更加的想要了解和學(xué)習(xí)這方面的知識(shí)，激發(fā)了更大的興趣。在此次撰寫論文中所碰到的難處，讓我學(xué)到了怎樣更好的處理好自己