高數(shù)-極限求解方法與技巧總結

1、第一章極限論極限可以說是整個高等數(shù)學的核心，貫穿高等數(shù)學學習的始終。因為有關函數(shù)的可積、連續(xù)。可導等性質都是用極限來定義的。毫不夸張地說，所謂高數(shù)，就是極限。衡量一個人高等數(shù)學的水平只需看他對極限的認識水平，對極限認識深刻，有利于高等數(shù)學的學習，本章將介紹數(shù)列的極限、函數(shù)的極限以及極限的求解。重點是求極限。?????????????極限的定義數(shù)列極限極限的性質函數(shù)極限的定義函數(shù)極限函數(shù)極限的性質一、求極限的方法1.利用單調有界原理單調有

2、界原理：若數(shù)列具有單調性、且有有界性，也即單調遞增有上界、單調遞減有下界，則該數(shù)列的極限一定存在?？梢哉f，整個高等數(shù)學是從該結論出發(fā)來建立體系的。利用該定理一般分兩步：1、證明極限存在。2、求極限。說明：對于這類問題，題中均給出了數(shù)列的第項和第項的關系式，首先n1n?用歸納法或作差法或作商法等證明單調性，再證明其有界性（或先證有界、再證單調性），由單調有界得出極限的存在性，在最終取極限。例1設證的極限存在，并求其極限。01100()01

3、2nnnaaxxxnx??????，…??nx分析：本題給出的是數(shù)列前后兩項的關系，所以應該用單調有界原理求解。解：由基本不等式，，所以可知數(shù)列有下界；下面證單11()2nnnaxxax????nx調性，可知當時，有，則單調遞減。綜2n?2111()()22nnnnnnnxaxxxxxx??????nx合可得，則單調遞減有下界，所以存在；令，帶入等式解得nxlimnnx??limnnxA???。Aa?評注評注：對于該題，再證明有界性的過

4、程中用到基本不等式；特別是在證明單調列單調且其有相同的極限值，則原數(shù)列也有極限。下面以例子說明。例3設證明收斂，并求之。1113.1nnaanNa???????na分析：首先可知，可知并不單調，但可以考慮奇12341453459aaaa????na子列和偶子列。證明：用數(shù)歸法證明單調性。（1）由，知成立。13aa?1k?（2）假設當時，有成立21nk??2121kkaa???（3）則有當時，23nk?212123212121212111

5、1111221111kkkkkkkkaaaaaaaa?????????????????????所以，當時也成立。其奇子列單調遞減。23nk??由于，而，且，所以有。則其奇子列單調0na?1111nnaa????13a?04na??遞減且有下界。同理可證，偶子列單調遞增且有上界，由單調有界原理可知，奇、偶子列的極限均存在，不妨設為和。則有，解得AB1111ABBA???????????512AB???評析：在應用數(shù)學歸納法證明單調性的過程

6、中用到了是增函數(shù)這一1()2tftt???性質，當然，數(shù)學歸納法證明單調性也并不是唯一的方法，下面用作差法證明：222221122(2)(2)nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa????????????????所以可知與的符號相同，由于則；同2nnaa??2nnaa??310aa??21210kkaa????理，則。即奇子列單調遞減，偶子列單調遞增。420aa??2220kkaa???這樣的討論顯然比較繁瑣，有沒有更簡單的方法呢？當